Разбор типовой аудиторной контрольной работы. Определитель третьего порядка. Проекции векторов. Векторное произведение векторов

Приложение

Разбор типовой аудиторной контрольной работы

В этом приложении приведём разбор аудиторной контрольной работы, которая даётся студентам первого курса и является обязательным контрольным мероприятием. Контрольная состоит из 5 задач.

Задача1:

Решить неравенство

Решение:

Вычислим определитель третьего порядка раскрываем его по первой строке.

тогда неравенство преобразуется к виду

   

Ответ:       

Задача 2:

Даны точки А(-1;1;6),  В(0;4;-1),  С(3;1;4),   D(-1;6;1). Найти:

а) угол между векторами и

б) площадь треугольника АВС

с) Объём пирамиды АВСD.

Решение:

а)  Для нахождения угла между векторами  и найдём проекции этих векторов

; 

Далее используем формулу нахождения угла между векторами заданными своими проекциями. Обозначим искомый угол .

Зная  по таблицам находим угол .

б)       Для нахождения площади треугольника АВС найдём проекции векторов  и

Известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Тогда площадь треугольника АВС будет равна половине площади параллелограмма. Таким образом.

 

Найдём векторное произведение векторов и заданных своими проекциями

Таким образом, проекции вектора векторного произведения будут: (-6: -26: -12)

Тогда легко находим модуль векторного произведения: 

Отсюда:  ед. кв.

в)       Для нахождения объёма пирамиды АВСD необходимо знать проекции векторов

из векторной алгебры известно, что объем пирамиды может быть вычислен с помощью смешанного произведения векторов образующих пирамиду

Найдём смешанное произведение векторов заданных своими проекциями

тогда искомый объем пирамиды

 куб. ед.

Задача 3:

Найти вектор, если известно, что

причем проекции векторов заданы:

Решение:

Обозначим проекции вектора  тремя неизвестными х, у, z, то есть

Зная проекции векторов  запишем скалярное произведение векторов заданных своими проекциями.

используя  заданные начальные условия, получим систему с тремя неизвестными:

Решая эту систему, получаем:

x=4;  у=-2; z=2;

таким образом, искомый  вектор  имеет проекции:

Задача 4:

Даны две вершины треугольника А(-6;2) В(2;-2) и точка Н(1;2) пересечения его высот. Вычислить  координаты третьей вершины С.

Решение

Н

С

А

В

          Сделаем схематический чертёж для решения задачи (Рис. 1)

	Рис. 1

 

Найдём уравнение стороны треугольника АС используя уравнение прямой проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору: А(х-х₀)+В(у-у₀)=0.

В качестве вектора перпендикулярного АС возьмем вектор , лежащий на высоте треугольника, проведённая из вершины В к стороне АС

В качестве точки, через которую проходит прямая координаты точки А, тогда имеем уравнение АС.

-1(х+6)+4(у-2)=0

-х-6+4у-8=0

-х+4у-14=0

х-4у+14=0

Аналогично найдём уравнение стороны треугольника ВС. Вектор перпендикулярный  к ВС вектор :

 (7;0)

Точка, через которую проходит ВС – точка В (2;-2)

7(х-2)+0(у+2)=0

7х-14=0

х-2=0

Имеем уравнения двух прямых, которые пересекаются в точке С. Для нахождения координат точки С  решим систему уравнений

таким образом некоторые координаты С(2;4)

Задача 5:

Вычислить расстояние между параллельными плоскостями заданными уравнениями

x-2у+3z=0  и        х-2у+3z-5=0

Решение:

Обозначим Р₁ плоскость х-2у+3z=0, а Р₂ плоскость х-2у+3z-5=0.

Найдём точку припадающую плоскости Р₁. Для этого положим две координаты х=0 и у=0, тогда имеем 0-2*0+3z=0 => z=0. То есть плоскость Р₁ проходит через начало координат, таким образом точка (0,0,0) принадлежит плоскости Р₁. Найдём расстояние от этой точки до плоскости Р₂  . Это и будет искомое расстояние между параллельными плоскостями Р₁ и Р₂. Для этого воспользуемся формулой расстояния от заданной точки до заданной плоскости: