Метрические пространства. Понятия метрики и метрического пространства. Компактные множества

Страницы работы

104 страницы (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Пусть X – метрическое пространство, M X – множество в нем. Доказать, что точка aX может быть предельной для множества M только если aM или aM .

3.  На числовой прямой ¡ с обычной метрикой построить открытый и замкнутый шары с центрами в точке a 1 радиуса R  2.

1, при x y

4.  На числовой прямой ¡ с метрикой (x y, )      найти

0, при x y

замкнутый и открытый шары с центрами в точке a 1 радиуса R  2.

1, при x y

5.  На числовой прямой ¡ с метрикой (x y, )      найти

0, при x y

замкнутый и открытый шары с центрами в точке a 1 радиуса R  .

1, при x y

6.  На числовой прямой ¡ с метрикой (x y, )      найти

0, при x y

замкнутый и открытый шары с центрами в точке a 1 радиуса R 1.

7.  На плоскости ¡2 с метрикой (x x1, 2 ),(y y1, 2 )  x1  y1  x2  y2  построить замкнутый и открытый шары с центрами в точке a  (0,0) радиуса R 1.

8.  На плоскости ¡2 с метрикой (x x1, 2),( ,y y1 2)maxx y x y1 1 , 2 2  построить замкнутый и открытый шары с центрами в точке a  (0,0) радиуса R 1.

9.  На плоскости ¡2 с метрикой (x x1 2, ),(y y1, 2) x y1  1 2  x2 y2 2 построить замкнутый и открытый шары с центрами в точке a  (0,0) радиуса R 1.

10.  Построить метрическое пространство (X,) и в нем замкнутые шары B a r1[ 1, ]1 и B a r2[ 2, 2] так, что B1 B2 , а r1 r2 .

11.  Построить метрическое пространство (X,) и в нем замкнутые

ограниченные множества F1 F2 F3 ... такие, что IFk  .

k1

Указание:      в        пространстве ¡   рассмотреть       метрику x y

(x y, )  и множества Fk k,, k 1,2,3,...1 x y

12.  Привести    пример        метрического       пространства,       в        котором

a R( ,       )  B a R[ ,  ].

            Указание:       в           пространстве ¡           рассмотреть          метрику

1, при x y

(x y, )   и шары B a( ,1) и B a[ ,1], где a – произвольная фик0, при x y

сированная точка.

                                                                                                      1

                                                                                              1  , при x y                                                                            5 

13.  Пусть X 1,, (x y, )          x . Найти B1,          ,

                                                                                            0,             при x y                                                                                  4

        5          6

B2, 4 , B10,5.

14.  В        пространстве        l1        найти расстояние           между         элементами

1          1 1     1        1        1                 1 1     1         x                  , 2     2 , 3   3 ,... и y   , 2 , 3 ,....

          3    2 3      2    3      2                 3 3   3      

15.  В пространстве    l2 найти расстояние между элементами

 1         1        1                 1 1     1         x          , 2 , 3 ,... и y          , 2 , 3 ,....

           2 2    2                 3 3   3      

16.  Найти расстояние ( f1, f2) в пространстве С0,1, если

3 2 x               1          f x1( )      2 , f2 ( )x  1     .

                   (x 1)                     x 1

17.  Найти расстояние ( f1, f2) в пространстве С0,2, если f x1( )  asin x, f2 ( )x bcosx.

18.  Найти расстояние ( f1, f2) в пространстве L11,1, если f x1( )  x , f2( )x  sin x.

19.  Найти расстояние в пространстве С0,1 между функциями x t( )  t3 , y t( )  t2 1.

20.  Найти расстояние в пространстве С 0, 4  между функциями x t( )  sint , y t( )  cost .

21.  Найти расстояние в пространстве С,  между функциями x t( )  sint , y t( )  cost .

22.  Изобразить шар B t[ 2,2] в С0,1.

23.  Пусть x t0( ) – фиксированная функция из C a b , . Доказать, что множество E x t( )C a b , : x t( )  x t0( ) открыто в C a b , .

Указание: показать, что  inf x t0( )  sup x t( ) , и выбрать

ta b,        ta b,      .

24.  Является ли открытым в пространстве l множество E x  (1, 2,...)l:0 k 1  k ¥?

25.  Разместить в единичном шаре в пространстве l2 счетное число непересекающихся шаров радиуса .

26.  Показать на примере, что пересечение последовательности вложенных друг в друга непустых ограниченных открытых множеств, диаметры которых стремятся к нулю, может быть пусто (определение диаметра множества см. в п. 4).

                                                                                                                                                              1 

             Указание: для всех n¥ рассмотреть множества вида 0,    ¡.

                                                                                                                                                              n

27.  Является ли множество x t( ) :t x t( )  3t t, (0,1) открытым в пространстве C0,1?

Указание: изобразить рассматриваемое множество графически.

28.  Проверить, является ли ограниченным следующее множество

                                          a                            

x t( )C0,1 : ( ) x t                   t cos   , a0,1 , t0,1?

                                          t                            

Указание: найти шар, целиком содержащий данное множество. Для простоты можно искать шар с центром в начале координат.

29.  Пусть x t0( ) – фиксированная функция из C a b , , A – фиксированное число. Доказать, что множество E x t( )C a b , : Ax t( )  x t0( ) открыто в C a b , .

30.  Пусть x t1( ) и x t2( ) – фиксированные функции из C a b , . Доказать, что множество E x t( )C a b , : x t1( )  x t( )  x t2( ) открыто в C a b , .

31.  Является ли открытым множество многочленов в пространстве

a b , ?


3. Сходящиеся и фундаментальные последовательности.

Полные метрические пространства

Определение: пусть X – метрическое пространство. Его элемент x называется пределом последовательности xn X , если (x xn, )  0 при

n  . Обозначение: xn x при n   или limxn x.

n

Замечание: определение предела равносильно тому

Похожие материалы

Информация о работе