Схема испытаний Бернулли. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Ряд задач ТВ связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания 

Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.

Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех») и с неизменными вероятностями «успеха» (р) и «неуспеха» (1− p = q) в каждом испытании (схема испытаний Бернулли).

Pm,n = Cnm pm(1− p)nm

Вероятность получить ровно m успехов в n независимых испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:                 .

Пример.

Изделия  производства содержат 5 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.

Решение.  а) По условию задачи n = 5, p = 0,05. Так как вероятность наступления события  А (появление бракованной детали) постоянна для каждого испытания, то задача подходит под схему Бернулли. По формуле 

P.

б) .

Определение.

Число наступлений события  А называется

, если оно имеет наибольшую  сравнению с вероятностями наступления любое другое количество раз.

наивероятнейшим вероятность по события  А  

Наивероятнейшее число  m0   наступлений события  А    в n испытаниях заключено в интервале                                   np q m0 np + p.

Если np q −целое число, то наивероятнейших числа два np q    и     np + p.

Пример.

 В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0,8. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года?

Решение. Из неравенства np q m0 np + p  найдем m0. По условию n = 4, p = 0,8, q =1−0,8 = 0,2:

4⋅0,8−0,2 ≤ m0 ≤ 4⋅0,8+0,8 ⇔           3 ≤ m0 ≤ 4.

Имеется два наивероятнейших числа m0 = 3  или  m0 = 4.

Пример.

 Вероятность попадания в кольцо при штрафном броске для баскетболиста равна 0,8. Сколько надо произвести ему бросков, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

Решение. Известно, что p = 0,8, m0 = 20. Тогда q =1− 0,8 = 0,2 и n найдем из системы неравенств

n⋅0,8 − 0,2 ≤ 20

n⋅0,8 + 0,8 ≥ 20

⎧       20,2

⎪⎪n

n ≥ 19,2

⎪⎩      0,8

24 ≤ n ≤ 25,25.

        Предельные теоремы для схемы Бернулли

Теорема (Пуассона).

Предположим, что произведение постоянной    величиной, когда     n

. Обозначим λ = np. Тогда для  m    и   любого постоянного λ:

λm λ

Pm,n e . m!

np       является неограниченно возрастает любого фиксированного

lim

n→∞

np

В случае, когда n велико, а р мало ( p < 0,1; npq ≤ 9) вместо формулы

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
209 Kb
Скачали:
0