Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Страницы работы

9 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

 Краткие сведения теории  ЛНДУ  2-го порядка

Определение

Дифференциальное уравнение вида py′+ qy = f (x),            (1)                  

константы,        f (x)—заданная                                   функция

линейным неоднородным дифференциаль второго порядка с постоянными

.

              y′′+

где p,q— называется ным уравнением коэффициентами

Как устроено общее решение ЛНДУ ?

Теорема  (структура общего решения ЛНДУ). 

Общее          решение         линейного                  неоднородного

дифференциального уравнения ЛНДУ (1) есть сумма y(x) = y*(x)+ yобщ(x)          (*)

некоторого частного решения y*(x) неоднородного ДУ (1) и общего решения      yобщ(x) = C1y1(x) +C2y2(x)

однородной части ДУ (1), т.е. решения  для ДУ вида                  y′′+ py′+ qy = 0.                        (**)

Здесь y1(x), y2(x) линейно независимые решения для ДУ (**),   а   C1,C2 —произвольные постоянные.

Как искать частное решение неоднородного ДУ?

Укажем для специального вида правой части f (x)!!

1.     Пусть  

f(x)=Pn(x)≡a0xn+a1xn1+...+an−1x+an

а) Предположим, что число λ = 0 не является корнем характеристического уравнения          λ2 + pλ + q = 0Тогда частное решение для неоднородного уравнения ищем тоже  в виде многочлена той же степени, (но с неизвестными пока коэффициентами): y*(x)=Rn(x)≡b0xn+b1xn−1+...+bn−1x+bn  (а1)

Подставим (а1) в ДУ (1):⇒

Rn′′(x)+ pRn′ (x) + qRn(x) ≡ Pn(x) для ∀x         (в1)

Сравнивая в тождестве (в1) коэффициенты при одинаковых степеняхx, получим алгебраическую систему из (n+1) уравнений относительно неизвестных коэффициентовbi

б) Пусть число λ = 0  является корнем (однократным !)  характеристического уравнения          λ2 + pλ + q = 0(в этом случае оно имеет вид λ(λ + p) = 0)!

Тогда частное решение для неоднородного уравнения ищем   в виде 

                        y*(x)=xRn(x)                              (а2)

Далее используется процедура пункта а).

в) Пусть число λ= 0  является корнем (двухкратным !)  характеристического уравнения          λ2 + pλ+ q = 0

(в этом случае оно имеет вид λ2 = 0)!

Тогда частное решение для неоднородного уравнения ищем   в виде 

                        y*(x)=x2⋅Rn(x)                              (а3)

Далее используется процедура пункта а).

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения   y′′ − 2y′ + 2y = x2.

Решение. 1)Ищем общее решение для y′′− 2y′+ 2y = 0. 

Характеристическое уравнение: λ2 − 2λ+ 2 = 0,

D = 4 −8 = −4 = 4i2, λ1,2 = 2 ± 2i =1± i, α=1, β=1, 

2

Значит, общее решение однородного уравнения есть

yобщ = ex(C1sin x +C2 cosx).

2) Для нахождения частного решения неоднородного уравнения используем специальный вид правой части 

Pn(x) = x2, n = 2.

Так как среди корней характеристического уравнения нет  λ= 0, то множители x и x2 отсутствуют, значит, ищем частное решение y в виде многочлена второй степени с неопределенными коэффициентами             y= ax2 + bx + c,    y= 2ax + b,       y= 2a

Подставляем y, y, y в исходное уравнение

y′′ − 2y′ + 2y = x2

Имеем

2a − 4ax − 2b + 2ax2 + 2bx + 2c = x2;

x2(2a) + x(−4a + 2b) + 2a − 2b + 2c = x2.

Составляем систему для нахождения a,b и c, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x в левой и правой части уравнения:

x2 :⎧2a =1,

x1 :− 4a + 2b = 0,

a =1 2,

b =1,

x0 :2a − 2b + 2c = 0.                     c =1 2.

Итак, частное решение y                             

Следовательно, общее решение  неоднородного  ДУ  есть 

2.    Пусть  правая часть имеет вид

f(x)=ekx⋅Pn(x)≡ekx⋅(a0xn+a1xn1+...+an1x+an)

Важную роль играет взаимодействие корней характеристического уравнения с правой частью!!!

Пусть λi,i =1,2 — корни характеристического уравнения                 λ2 + pλ+ q = 0 Возможны случаи: а)   k λi

kx Тогда частное решение ищем в виде  y*(x)=e Rn(x) где Rn(x)— многочлен n-ой степени с неизвестными коэффициентами.

б)   число k является простым корнем (кратности один) характеристического уравнения,  т.е.k =λ1  или   k =λ2

Частное решение ищем в виде     y*(x)=xekxRn(x) где Rn(x)— многочлен n-ой степени с неизвестными коэффициентами.

в)  число k является двукратным  корнем характеристического уравнения, т.е.k =λ1 =λ2

2 kx

Частное решение ищем в виде     y*(x)=x e Rn(x) где Rn(x)— многочлен n-ой степени с неизвестными коэффициентами.

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения                 y′′ − 2y′ + y = xex.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид             λ2 − 2λ+1= 0,    (λ−1)2 = 0,     λ1 = λ2 =1.

Значит, общее решение   есть      y = (C1 + C2x)ex

Так как правая часть имеет вид xe1x и k =1 совпадает

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
270 Kb
Скачали:
0