Понятие метрического пространства. Понятие числовой последовательности. Предел последовательности

Страницы работы

14 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Пусть задано некоторое множество X элементов произвольной природы. Всякое отображение f: N → X множества натуральных чисел N в заданное множество X называется последовательностью (элементов множества X).

Образ натурального числа n, а именно, элемент xn = f (n), называется

n-ым членом или элементом последовательности, а порядковый номер члена последовательности – ее индексом.

Связанные определения

1)  Подмножество f (N) множества X, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» последовательность, «перемещается» по носителю.

2)  Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.


Комментарии

1)  Не следует смешивать носитель последовательности и саму последовательность. Например, точка a є X как одноточечное подмножество {a} є X является носителем стационарной последовательности вида a, a, a, a, …

2)  Любое отображение множества N в себя также является последовательностью.

Обозначения

Последовательности вида

x1 , x2 , x3 , …

принято записывать при помощи круглых скобок:

Иногда используют фигурные скобки:


Предел последовательности

Определение 1: Последовательность {хп} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (m), что для любого элемента этой последовательности имеет место неравенство , при этом число М (m) называют верхней (нижней) гранью.

Определение 2: Последовательность {хп} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуют М, m, что для любого

xn є {xn} следует, что m≤ xn ≤ M.

Обозначим А = max {|M|, |m|}, тогда очевидно, что последовательность будет ограничена, если для любого  выполняется равенство |xn|≤А, последнее неравенство есть условие ограниченности последовательности.

Определение 3: Последовательность  называется бесконечно большой последовательностью, если для любого А>0, можно указать такой номер N, что для всех n>N выполняется ||>A.

Определение 4: Последовательность {αn} называется бесконечно малой последовательностью, если для любого наперёд заданного ε > 0, можно указать такой номер N(ε), что для любого n > N(ε) будет выполняться неравенство | αn | < ε.

Определение 5: Последовательность {хп} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {хп – а} является бесконечно малой последовательностью. При этом само а – предел исходной числовой последовательности.

Из этого определения следует, что все бесконечно малые последовательности являются сходящимися и предел этих последовательностей = 0.

В связи с тем, что понятие сходящейся последовательности увязано с понятием бесконечно малой последовательности, то определение сходящейся последовательности можно дать в другой форме:

Определение 6: Последовательность {хп} называется сходящейся к числу а, если для любого сколь угодно малого  найдётся такой , что для всех n > N выполняется неравенство

 при ,

Где а – предел последовательности

Т.к. равносильно , а это означает принадлежность интервалу хn є (a – ε; a+ ε) или, что то же самое, принадлежит ε – окрестности точки а. Тогда мы можем дать ещё одно определение сходящейся последовательности.

Определение 7: Последовательность {хп} называется сходящейся, если существует такая точка а, что в любой достаточно малой ε – окрестности этой точки находится сколь угодно элементов этой последовательности, начиная с некоторого номера N.

Замечание: согласно определениям (5) и (6), если а – предел последовательности {хп}, то xп – а является элементом бесконечно малой последовательности, т.е. xп – а = αn, где αn – элемент бесконечно малой последовательности. Следовательно, xп = а +αn, и тогда мы в праве утверждать, что если последовательность {хп} сходится, то её всегда можно представить в виде суммы своего предела и элемента бесконечно малой последовательности.

Верно и обратное утверждение: если любой элемент последовательности {хп} можно представить в виде суммы постоянного числа и элемента бесконечно малой последовательности, то это постоянная и есть предел данной последовательности.


Характерные примеры нахождения пределов последовательности

Числовая последовательность задана общим членом xп, рассмотрим его:

при нахождении такого предела говорят, что будем раскрывать неопределённость вида .

при нахождении такого предела, говорят, что будем раскрывать неопределенность вида .

Для раскрытия неопределённости  доделим числитель и знаменатель на наибольшую степень n.

Таким образом, имеет место правило:

Предел отношения двух многочленов равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя, нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны.

9. Пусть дана сходящаяся последовательность {хn} и пусть lim хn = a.

n→∞

Возьмем, например, ε=1. Согласно определению предела последовательности, существует такое n1, что для всех n > n1 выполняется неравенство | хn – a| < 1. Пусть d – наибольшее из чисел 1, | х1 – a|, …, | хn1 – a|. Тогда для всех n=1, 2, … справедливо неравенство | хn – a| ≤ d, т.е. для всех n

a – d ≤  хn ≤ a + d

Это  означает ограниченность заданной последовательности.


Заключение

В данной работе мы определили понятие метрического пространства

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Курсовые работы
Размер файла:
1 Mb
Скачали:
0