Методика преподавания в высшей школе. Решение задач кривых второго порядка

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Цель консультации: научить студентов считать определители и закрепить  понимании пройденного материала.

Тип факультатива: факультатив закрепления знаний

План факультатива: 1. Организационный момент 2. Актуализация опорных знаний 3. Применение знаний

Ход урока

I. Организационный момент

Сегодня мы повторим тему «Определители» и научимся применять знания на практике.

II. Актуализация знаний

Повторение теоретического материала:

Определители 3-го порядка.

Определение. Определителем 3-го порядка называется выражение

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image060.gif

Числа http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image062.gifназывают элементами определителя. Индекс i означает здесь номер строки определителя, в которой находится этот элемент, а индекс j – номер столбца. Так, например, элемент http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image064.gif находится в третьей строке и втором столбце определителя.

 Пример 1. Вычислить

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image066.gif

Решение. Используя формулу, имеем

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image068.gif

Таким образом, справедливы шесть разложений:

                                 http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image087.gif,

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image089.gif,

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image091.gif,  (1)

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image093.gif,

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image095.gif,

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image097.gif.

Замечание. Раскрывая определители 2-го порядка в формуле (1) и собирая члены с одинаковыми знаками, получим

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image100.jpg                       http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image101.jpg

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image103.gif

Этот способ вычисления определителей 3-го порядка называется правилом треугольника. Элементы, входящие в определитель со знаком + и со знаком –, выбираются из определителя, как показано на рисунках.

Пример 2. Вычислить http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image105.gifпо правилу треугольника.

Решение.

 http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image107.gif

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image109.gif

Свойства определителей справедливы для определителей любого порядка:

а) определитель не меняет своего значения, если строки и столбцы поменять местами;

б) при перестановке двух строк или двух столбцов определитель меняет знак;

в) определитель, у которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю;

г) общий множитель элементов какой–либо строки или столбца определителя можно выносить за знак определителя.

Например,

 http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image111.gif;

д) если все элементы какой-либо строки или столбца определителя равны нулю, то определитель равен нулю;

е) если элементы какой-либо строки или столбца определителя пропорциональны элементам другой строки или столбца, то такой определитель равен нулю, например, определитель http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image113.gif, так как элементы первой и второй строк пропорциональны;

ж) если элементы какой–либо строки или столбца определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно разложить на сумму двух соответствующих определителей;

з) величина определителя не изменяется, если к элементам какой– либо строки или столбца прибавить (или отнять) элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image119.gif  (2)

Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера, рассмотренному выше для системы двух уравнений.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image121.gif.

Назовем его определителем системы. Если D≠0, то система совместна. Далее составим три вспомогательных определителя:

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image123.gif,http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image125.gif,http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image127.gif.

Решение системы (2) находим по формулам:

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image129.gif,http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image131.gif,http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image133.gif,  (3)

которые называют формулами Крамера.

Пример 3. Решить систему уравнений http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image135.gif

Решение. Вычислим определитель системы.

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image137.gif. Система совместна, так как D≠0.

Вычислим теперь вспомогательные определители:

http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image139.gifhttp://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image141.gif,http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image143.gif.

Тогда http://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image145.gifhttp://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image147.gifhttp://abc.vvsu.ru/Books/u_vyssh_m1/obj.files/image149.gif

Модульная контрольная работа № 0

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №1                        

1.  Обчислити.                                                                    

,   a=10, b=7

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=4, b=2, c=3

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №2  

1.  Обчислити.  

, a=8, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.


5.  Обчислити інтеграл

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=2, b=3, c=4

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №3

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=2

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=6, b=8, c=4

7.  Побудувати графік функції.


Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №4

1.  Обчислити.                                                                    

, a=7, b=3

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=5, b=6, c=7

7.  Побудувати графік функції.


Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №5

1.  Обчислити.

, a=3, b=1

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=4, b=3, c=2

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №6

1.  Обчислити.                                                                    

, a=4, b=2

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=7, b=6, c=5

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №7

1.  Обчислити.                                                                    

, a=10, b=7

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=4, b=3, c=2

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №8

1.  Обчислити.                                                                    

, a=8, b=6

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=7, b=6, c=5

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №9

1.  Обчислити.                                                                    

, a=5, b=3

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=9, b=8, c=7

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №10

1.  Обчислити.                                                                    

, a=8, b=7

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=5, b=6, c=7

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №11

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=4, b=3, c=2

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №12

1.  Обчислити.                                                                    

, a=10, b=7

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=7, b=6, c=5

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №13

1.  Обчислити.                                                                    

, a=4, b=2

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=10, b=9, c=8

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №14

1.  Обчислити.                                                                    

, a=7, b=6

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=8, b=7, c=6

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №15

1.  Обчислити.                                                                    

, a=5, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=10, b=9, c=8

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №16

1.  Обчислити.                                                                    

, a=10, b=6

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=8, b=7, c=6

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №17

1.  Обчислити.                                                                    

, a=9, b=7

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=10, b=6, c=2

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №18

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=6, b=7, c=8

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №19

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=5

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=10, b=8, c=6

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №20

1.  Обчислити.                                                                    

, a=3, b=2

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=9, b=7, c=5

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №21

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=6, b=5, c=4

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №22

1.  Обчислити.                                                                    

, a=8, b=6

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=8, b=6, c=4

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №23

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=7, b=5, c=3

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №24

1.  Обчислити.                                                                    

, a=5, b=3

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=5, b=6, c=7

7.  Побудувати графік функції.

Высшая математика. 0-ый  модуль.  1-ый  семестр.  1-ый курс

Вариант №25

1.  Обчислити.                                                                    

, a=6, b=4

2.  Розв'язати рівняння.

3.  Розв'язати рівняння. Побудувати графік.

4.  Обчислити похідну.

5.  Обчислити інтеграл.

6.  Знайти площу трикутника та схематично його побудувати.

a=6, b=7, c=8

7.  Побудувати графік функції.

Модульная контрольная работа № 1

Высшая математика.  1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №1

1.  Расстояния между двумя точками на осях координат и на плоскости.

2.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3.  Каноническое уравнение эллипса. Форма, свойства и построение эллипса.

4.  Является ли прямоугольным треугольник с вершинами , ,  ?

  1. Построить точки   и найти точку , делящую отрезок  в отношении
  2. Построить гиперболу  и составить уравнения ее асимптот.
  3.  Составить уравнение окружности с центром в точке  и радиусом .

Высшая математика. 1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №2

1.  Общee уравнение прямой. Уравнение осей координат.

2.  Каноническое уравнение параболы. Свойства и форма параболы. Построение параболы.

3.  Область определения  для канонического уравнения эллипса.

4.  Составить уравнение гиперболы, для которой действительная полуось , эксцентриситет .

5.  Составить  уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

6.  Дан треугольник с вершинами. Построить его и составить уравнение одной  из высот треугольника.

7.  Найти точки пересечения гиперболы  с осями координат и построить ее.

Высшая математика. 1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №3

1.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2.  Расстояние между точками ,   на плоскости.

3.  Определение, свойства и форма гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы.

4.  Построить окружность с центром в точке  и радиусом и записать ее уравнение.

5.  Найти фокусы и эксцентриситет эллипса  .

6.  Дан треугольник с вершинами.Составить уравнение медианы .

7.  Найти точки пересечения линии  и координатных осей.

Высшая математика. 1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №4

1.  Координаты фокусов эллипса.

2.  Уравнeние прямой в отрезках на осях.

3.  Виды парабол. Каноническое уравнение параболы.

4.  Дан эллипс. Определить полуоси эллипса и построить эллипс.

5.  Найти угол между прямыми .

6.  Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

7.  Составить  уравнение гиперболы, зная, что  полуось  равна 6, а эксцентриситет  .

Высшая математика.  1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №5

1.  Координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении.

2.  Диаметры эллипса.

3.  Фокус и директриса параболы.

4.  Составить уравнение прямой, проходящей через точки .

5.  Найти периметр треугольника с вершинами .

6.  Найти центр и радиус окружности .

7.  Построить  гиперболу . Составить уравнения её осей симметрии.

Высшая математика.  1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №6

1.  Угол между двумя прямыми на плоскости.

2.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3.  Координаты фокуса параболы. Свойства параболы

4.  Для эллипса малая ось равна 24, а удвоенное расстояние между фокусами . Составить уравнение эллипса и построить его..

5.  Вычислить площадь треугольника с вершинами 

6.  Найти центр и радиус окружности

7.  Построить гиперболу  Найти расстояние между её вершиной и фокусом.

Высшая математика.  1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №7

1.  Виды уравнений окружности.

2.  Каноническое уравнение параболы. Форма параболы.

3.  Уравнeние прямой в отрезках на осях. Горизонтальне и вертикальне прямые.

4.  Построить эллипс . Определить полуоси эллипса и построить эллипс.

5.  Найти длину высоты  треугольника с вершинами , , .

6.  Построить директрису параболы

7.  Найти угол между горизонтальной осью симметрии гиперболы  и  её асимптотой.

Высшая математика.  1-ый модуль.  1-ый семестр.  1-ый  курс

Вариант №8

1.  Расстояние между точками  на плоскости и на осях координат

Похожие материалы

Информация о работе