Линейная алгебра. Матрицы. Диагональная и квадратная матрица

Страницы работы

4 страницы (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Аннотация лекции. Лекция посвящена теме «Линейная алгебра». Введено понятие матрицы. Рассмотрены операции над матрицами и их основные свойства. Приведены примеры, иллюстрирующие эти свойства и понятия.

Линейная алгебра

Матрицы

Матрица размера m х n – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы принято обозначать заглавными латинскими буквами, а элементы – теми же, но строчными буквами с двойной индексацией. 

Например, рассмотрим матрицу А размерности 2 х 3:

 3     0        1 А  0      1,5     5 

В этой матрице две строки (m = 2) и три столбца (n = 3), т.е. она состоит из шести элементов aij, где i - номер строки, j - номер столбца. При этом i принимает значения от 1

до 2, а j от одного до трех (записывается i 1,2, j 1,3). А именно, a11= 3; a12= 0; a13= -1; a21= 0; a22= 1,5; a23= 5.

Матрицы А и В одного размера (m х n ) называют равными, если они поэлемент-

но совпадают, т.е. aij = bij для i 1,m, j 1,n , т.е. для любых i и j (можно записать i, j).

Матрица-строка – это матрица, состоящая из одной строки, а матрица-столбец – это матрица, состоящая из одного столбца.

Например, А2 0 6- матрица-строка, а B 75 .

Квадратная матрица n-го порядка – это матрица, в которой число строк равно числу столбцов и равно n.

                                                     3   2

               Например, А 5 5- квадратная матрица второго порядка.

Диагональные элементы матрицы – это элементы, у которых номер строки равен номеру столбца (aij, i = j). Эти элементы образуют главную диагональ матрицы. В предыдущем примере главную диагональ образуют элементы a11= 3 и a22= 5.

Диагональная матрица – это квадратная матрица, в которой все недиагональные

9 0 0

                                                                                                    

элементы равны нулю. Например, А0 3 0 - диагональная матрица третьего по0 0 1

рядка. Если при этом все диагональные элементы равны единице, то матрица называется

1

единичной (обычно обозначаются буквой Е). Например, E 0

0

 матрица третьего порядка.

0

1

0

0

0- единичная

1

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы ниже (или

9

выше) главной диагонали равны нулю. Например, А0

0

ца третьего порядка.

Операции над матрицами

4

3

0

8

6 - треугольная матри-

1 

Над матрицами можно производить следующие операции:

1.  Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число  называется матрица В = А, элементы которой bij = aij для любых i и j.

                                                              3   2                 3    2 15    10

Например, если А 5  5, то 5*А 5        525       25 .

2.  Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m х n называется матрица С = А + В, элементы которой сij = aij + bij для i, j.

                                                                3   2       2   1

               Например, если А 5 5,B 0      1, то 

        C  А B 5302  55 5211 6355                      63.

Отметим, что через предыдущие операции можно определить вычитание матриц одинакового размера: разность А-В = А + (-1)*В.

3. Умножение матриц. Произведением матрицы А размера m x n на матрицу В размера n x p называется такая матрица С, каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца мат-

n

рицы В, т.е. cij  ai1b1j  ai2b2j ...  ainbnj aikbkj .

k1

Например, если 

, то размер матрицы-произведения будет 2 x 3, и она будет иметь вид: 

 

На основе операции умножения для квадратных матриц определена операция возведения в степень. Целой положительной степенью Аm (m > 1) квадратной матрицы А называются произведение m матриц, равных А, т.е.  Аm  A1*44A2*...4*43A

m раз

Подчеркнем, что сложение (вычитание) и умножение матриц определены не для любых двух матриц, а только для удовлетворяющим определенным требованиям к своей размерности. Для нахождения суммы или разности матриц их размер обязательно должен быть одинаковым. Для нахождения произведения матриц число столбцов первой из них должно совпадать с числом строк второй (такие матрицы называют согласованными). Возведение в степень определено только для квадратных матриц

Похожие материалы

Информация о работе