Линейные разностные уравнения первого порядка. Искомая последовательность

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Лекция 12.

Линейные разностные уравнения первого порядка.

Пусть множество No = {0,1,2,3,...} и пусть R — множество всех вещественных чисел, а N — множество всех натуральных чисел.

Линейным разностным уравнением первого порядка называется уравнение вида

yк+1кук = fк ,                                           (1) где ак —заданная функцияk∈No, причемак ≠0 для всех k∈No, fк — заданная функцияk∈No иyк — искомая функция

k ∈ N0.

Будем считать в дальнейшем, что все значения функций ак, fк, yк принадлежат множеству R.

Замечание. Условие ак≠         0 для всехk∈No является существенным в определении линейного разностного уравнения первого порядка. Например, линейное разностное уравнение вида

yк+1 = fк не считается уравнением первого порядка, поскольку замена k + 1 =n  дает уравнение

yn  = fn-1 которое условно можно назвать разностным уравнением нулевого порядка.

Необходимость требования для уравнения (1) условия ак ≠ 0 для всехk Noв дальнейшем будет понятна и из других соображений.

Уравнение (1) иногда называют линейным рекуррентным уравнением первого порядка или линейным дискретным отображением первого порядка, а дискретный аргумент No называют дискретным временем. Так как функции аргумента No называть последовательностями, то с этой точки зрения  ак и fк в уравнении (1) являются заданными последовательностями, аyк -  искомая последовательность

K ∈ N0.

Простейшие примеры уравнения (1) дают арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и частичные суммы числового ряда. Если ак = — 1 и fк = d для всех к No, то уравнение (1) задает арифметическую прогрессию  { yк } с разностью d. 

Если же ак = — q и fк = 0 для всех к No, то уравнение (1) задает геометрическую прогрессию { yк} со знаменателем  q. Наконец, пусть для числового ряда

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           ∑∞         n

к-й частичной суммой является

yк =        ∑            n Тогда yк  удовлетворяет уравнению вида

yк+1 = yк +fк+1

Если fк = 0 для всех кNo, то уравнение (1) называется линейным однородным разностным уравнением первого порядка. В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным разностным уравнением первого порядка.

Заданная последовательность φк , к No, называется решением уравнения (1), если она обращает уравнение (1) в числовое тождество для всех к ∈ No. График решения (1) представляет собой последовательность точек плоскости с координатами (k,φк) для всех к ∈  No.

Для линейного однородного разностного уравнения первого порядка

                                                                                                   yк+1кук = 0,                            (2) где ак ≠0 для всех к No, формулу всех решений можно получить с помощью последовательных подстановок. Из уравнения (2) имеем, чтоy1 = -а0у0 , y2 = -а1у1 = а0 а, y3 = -а2= -а0 а1 а0   , …, yк = (−1) а0 а1 а2… ак-1у0.

Если воспользоваться обозначением произведения знаком П, то получаем формулу всех решений (2):

                                                              yк = y0 (−1) ∏         аj

                          Положим y0 = С, А k = (−1) ∏                             аj .Заметим, что А k ≠ 0                                   для всехk ∈ N0 в силу определения уравнения (1). Тогда формула всех решений (2) примет вид

yк = С Ак,                                       (3) где С — произвольная постоянная из множества R, k ∈ N0

Формула (3) называется формулой общего решения уравнения (2).

Для решения линейного неоднородного разностного уравнения первого порядка (1) применяется метод вариации постоянной.

Будем искать решение линейного неоднородного уравнения (1) в таком же виде (3), что и решение линейного однородного уравнения (2), но будем считать С не произвольной постоянной, а некоторой неизвестной функцией Cк , k ∈ N0 .Итак, решение (1) ищем в виде

                                                                                        ук = Ск  Ак, k ∈ N0,                             (4) где функцию Ск найдем подстановкойук в уравнение (1). Подстановка в (1) дает равенство вида

                           Ск+1  Ак+1 + ак Ск  Ак = fк или

                          Ск+1  Ак+1 -  Ск  Ак+1 = fк 

Отсюда                          

                                                                                               к            

                                                    Ск+1 =  Ск  +      

                                                                                        Ак                 поскольку Ак+1  ≠ 0 для всех k ∈ N0  в силу определения уравнения (1).

Последовательными подстановками тогда получаем что 

                         Ск0+∑       ()

                                                       А                        где k ∈ N0, Со = D — произвольная постоянная из R.

Таким образом, подставляя Ск в формулу (4), находим формулу всех решений

Похожие материалы

Информация о работе