Расчета плоской рамы методом перемещений

Страницы работы

12 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет транспорта

кафедра «Строительная механика»

Курсовая работа

часть № 3

по строительной механике

2002


Замечание. Во всех вариантах курсовой работы рамы два раза кинематически неопределимы, а не три, как в данном примере!

Пример расчета плоской рамы методом перемещений

Исходные данные:  пролет  l = 24 м,  высота  h = 8 м,  длина консоли а = 2,4 м,   нагрузки  P = 80 кН,  q = 20 кН/м; коэффициент k = 0,5.

Расчетная схема рамы изображена на рисунке 1.

Рисунок 1

1.1 Вычисление степени кинематической неопределимости

При расчете рамы необходимо установить общее число неизвестных метода перемещений, в качестве которых принимаются углы поворота и линейные смещения узлов системы.

Для определения числа неизвестных необходимо вычислить степень кинематической неопределимости по следующей формуле:

n = nу + nл,

где nу – число неизвестных углов поворота узлов, равное количеству жестких узлов рамы; nл – число неизвестных независимых линейных перемещений узлов.

Число независимых линейных смещений узлов nл равно степени свободы шарнирной схемы, полученной из заданной системы путем введения полных шарниров во все жесткие узлы и опорные закрепления. При этом все имеющиеся статически определимые консоли должны быть предварительно отброшены.

Наша конструкция имеет два жестких узла, поэтому  nу = 2.  Преобразуем заданную раму в шарнирную схему, представляющую собой геометрически изменяемую систему (рисунок 2). Определяем число независимых  линейных  смещений  узлов,  равное ее  степени свободы:

nл = W ш.с. = Ш – 3К,

где Ш – количество простых шарниров, К – число замкнутых контуров.

Рисунок 2

В  нашем  случае   Ш = 10,

К = 3,  nл = 10 – 3 ∙ 3 = 1.

Степень кинематической неопределимости

n = 2 + 1 = 3,

следовательно, имеем три неизвестных метода перемещений: два угла поворота и одно горизонтальное линейное смещение узлов системы.

1.2 Выбор основной системы

Основная система метода перемещений – это система, полученная из заданной введением в узлы дополнительных связей, препятствующих угловым и линейным перемещениям узлов. 

Общее число вводимых связей равно, естественно, степени кинематической неопределимости (числу неизвестных метода перемещений). В соответствии с принятыми неизвестными вводим два защемления в жесткие узлы рамы и один горизонтальный опорный стержень. Для компенсации дополнительных связей основной системе необходимо придать углы поворота Z1, Z2 и линейное смещение Z3 , имеющиеся в заданной системе (рисунок 3).

Рисунок 3

Полученная основная система с полным числом связей состоит из стандартных однопролетных балок, которые уже изучены на действие нагрузки и смещение их концов.

1.3 Составление системы канонических уравнений

Рама три раза кинематически неопределима, следовательно, канонические уравнения представляют собой систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

r11Z1 + r12Z2 + r13Z3 +R1p = 0;

r21Z1 + r22Z2 + r23Z3 +R2p = 0;                                                   (1)

r31Z1 + r32Z2 + r33Z3 +R3p = 0.

Здесь Zi – неизвестное  перемещение  по  направлению i-ой  введенной связи; rij – реакция в i-ой связи от единичного перемещения j-ой связи; Rip – реакция i-ой связи от внешней нагрузки.

Следует отметить, что r11, r12, r13, R1pr21, r22, r23, R2p представляют собой моментные реакции защемлений 1 и 2;  r31, r32, r33, R3p – силовые реакции опорного стержня 3. При этом  rii  являются главными единичными реакциями;  rij (i  j) – побочными; rij = rji.

Для определения рассмотренных коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений необходимо построить единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов.

1.4 Построение единичных и грузовой эпюр

изгибающих моментов

Рассматриваем деформирование основной системы в результате поворота связи 1 на величину z1 = 1 (рисунок 4, а). Используя таблицы, строим  единичную  эпюру  изгибающих  моментов   . Сразу  же отмечаем  значение  опорной  реакции  в  несмещающейся  заделке  (рисунок 4, б).

а)

б)

Рисунок 4

Далее рассматриваем деформирование основной системы в результате поворота связи 2 на величину z2 = 1 (рисунок 5, а). По таблицам строим единичную эпюру изгибающих моментов . Отмечаем значение  опорной  реакции  в  защемлении  (рисунок 5, б).

а)

б)

Рисунок 5

Исследуем деформирование основной системы в результате горизонтального перемещения связи 3 на величину z3 = 1 (рисунок 6, а).

а)

б)

Рисунок 6

Строим единичную эпюру . Отмечаем  значения опорных  реакций  в  несмещающейся  заделке  и защемлении (рисунок 6, б).

Прикладываем к основной системе только заданную внешнюю нагрузку (рисунок 7, а). Пользуясь таблицами, для отдельных статически неопределимых балок строим эпюры изгибающих моментов. Изобразив их на общей базе, получаем грузовую эпюру Мр (рисунок 7, б).

а)

б)

Рисунок 7

1.5 Вычисление единичных и грузовых реакций

В соответствии с типами реакций определяем их двумя способами: моментные реакции вырезанием узла, силовые – отсечением рамы от опор. При этом величины  r11, r22, r33  должны быть положительными, остальные могут иметь любой знак, а также быть равными нулю.

Определение моментных реакций

Найдем моментные реакции r11, r12, r13, R1p  1-ой введенной связи от перемещений Z1 = 1, Z2 = 1, Z3 = 1 и от внешней нагрузки. Для этого вырежем жесткий узел с рассматриваемой связью в различных состояниях (рисунок 8) и рассмотрим его равновесие. Каждый раз будем составлять уравнение Σ М узла = 0 и выражать из него искомую реакцию.

Рисунок 8

 =  = 0,400641 EJ (1/м);  

 =  – 0,027737 EJ (1/м2);

 =  = 384,0 кН ∙ м.

Определим моментные реакции r21, r22, r23, R2p  2-ой введенной связи от перемещений Z1 = 1, Z2 = 1, Z3 = 1 и от внешней нагрузки. Вырежем жесткий узел с рассматриваемой связью в различных состояниях (рисунок 9) и рассмотрим его равновесие, составив уравнение Σ М узла = 0 для каждого из состояний.

Рисунок 9

;

 =  

      = 1,1875 EJ (1/м);

 =  = – 0,260417 EJ (1/м2);

 =  = 85,33 кН ∙ м;

Определение силовых реакций

Найдем силовые реакции r31, r32, r33, R3p  3-й введенной связи от перемещений Z1 = 1, Z2 = 1, Z3 = 1 и от внешней нагрузки. Для этого отсечем  часть  рамы  от  несмещающихся  опор  и  рассмотрим  ее  равновесие в различных состояниях (рисунок 10). Будем составлять уравнение  Σ Y  = 0 и выражать из него искомую реакцию.

 =  – 0,027737 EJ (1/м2);

 =  = – 0,260417 EJ (1/м2);

 =  = 0,113841 EJ (1/м3);

.

Рисунок 10

Проанализировав полученные значения реакций, убеждаемся, что главные единичные реакции положительны, а для побочных выполняются условия  r12 = r21, r13 = r31, r23 = r32  на основании теоремы о взаимности единичных реакций.

1.6 Проверка правильности вычисления реакций

Выясним правильность вычисления единичных реакций, выполнив универсальную проверку. Для этого построим суммарную единичную эпюру , сложив единичные эпюры  в общем виде (рисунок 11, а) и с подсчетом ординат (рисунок 11, б). Вычислим суммарную единичную реакцию rss, умножив  саму на себя. Результат должен быть равен сумме всех единичных реакций:

.

rss =

 =

 =

= 1,125674 EJ.

= 1,125674 EJ.

а)

б)

Рисунок 11

Результаты совпали, следовательно, единичные реакции вычислены верно.

Проверим правильность вычисления грузовых реакций. Для этого построим грузовую эпюру  Mp*  в любой статически определимой системе, полученной из заданной путем отбрасывания лишних связей (т. е. в основной системе метода сил) (рисунок 12). Вычислим суммарную грузовую реакцию Rsp, перемножив эпюры  и Mp*. Результат должен быть равен сумме всех грузовых реакций, взятой с обратным знаком:

.

а)

б)

Рисунок 12

Rsp =

=

;

 кН ∙ м.

Результаты совпали, значит, грузовые реакции вычислены верно.

Похожие материалы

Информация о работе