Оптимальная фильтрация сигналов. Спектральная функция детерминированного аналогового сигнала, страница 2

Где ½ S(w)½² есть энергетический спектр сигнала S(t), показывающий распределение сигнала по частоте.

Важную роль в описании детерминированных сигналов S(t) играет её автокорреляционная функция (АКФ) определяемая в виде:

Здесь Е_s энергия сигнала S(t) . АКФ связана с энергетическим спектром ½ S(w)½² преобразованием Фурье:

Отклик S₂(t) линейной стационарной системы (фильтра) на воздействие S₁(t) может быть найден следующим образом:

S₁(t)«S₁(w) ; g(t) «H(w)

H(w) и g(t) есть комплексный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной системы.

При воздействии на линейный фильтр аддитивной смеси известного сигнала и белого шума S(t)+X(t) можно получить на выходе наибольшее возможное отношение пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума, если комплексный коэффициент передачи такого фильтра определяется выражением:

Здесь S*(w)=S^sopr(w) – комплексно-сопряженный спектр входного сигнала,

B- постоянный коэффициент, учитывающий размерность,

t₀- время при котором отношение с/ш становится максимально возможным.t₀³t_и.

где t_и-длительность входного сигнала.

Фильтр, коэффициент передачи которого определяется выражением (3.12), называется оптимальным или согласованым.Импульсная характеристика ОФ определяется как функция g_opt(t)=B*S(t₀-t); (3.13)

т.е. импульсная характеристика ОФ по своей форме должна совпадать с зеркальным отображением сигнала.

Форма сигнала на выходе ОФ может быть найдена в соответствии с выражениями (3.10) и (3.11), что в результате даёт:

Итак, сигнал на выходе ОФ с точностью до постоянного коэффициента B совпадает с АКФ входного сигнала S(t). В момент времени t=t₀ ,т.е  при t=0 выходной сигнал имеет пиковое значение S_вых(t₀)=B*K_s(0)=B*E_s

         При действии белого шума с нормальным законом распределения шум на выходе линейного фильтра остается нормальным. В случае белого шума на входе его спектральная плотность мощности G(w)=G₀=const.Спектральная плотность мощности шума на выходе ОФ будет равна:

Дисперсия (средняя мощность) шума на выходе может быть найдена в виде:

Отношение пикового значения сигнала S_вых(t₀) к среднеквадратическому значению шума s_вых  определяется как.

При использовании сложных сигналов, в частности бинарных кодовых последовательностей (рис 1), их АКФ имеет один узкий центральный пик и боковые лепестки более низкого уровня (рис 2).

Под базой сигнала m понимают произведение эффективной ширины спектра сигнала на его длительность:

Под эффективной (энергетической) шириной спектра сигнала обычно подразумевают диапазон частот, в котором сосредоточена основная доля энергии сигнала. Для рассматриваемых ФКМ сигналов можно считать, что:

При этом база ФКМ сигнала m будет зависеть  от числа единичных импульсов. Для заданного сигнала база m=20 при N=10.

Если на входе ОФ действует квазибелый шум ограниченной мощности Pш=4.1 В²

со спектром, распределенным равномерно в полосе Dfэф , то спектральная плотность мощности шума определяется в виде:

Тогда, используя формулу (3.17), получаем

Энергию сигнала можно выразить в виде  Es=Ps*t_и , где Ps-средняя мощность входного сигнала.

Окончательно отношение с/ш на выходе ОФ будет равно:

Выигрыш по мощности c/ш у сложных сигналов в m раз.

III. Выполнение расчета.

1. Аналитические выражения спектральной функции , амплитудного спектра , и фазового  спектров заданного сигнала.

Путем дифференцирования сводим исходный ФКМ (рис. а) сигнал к линейной комбинации дельта-функций (рис. б):

 

S’(t)                               2d(t-4t₀)                             2d(t-8t₀)   

 

d(t)                                                                                                         d(t-10t₀)                

 

 

0           t₀         2t₀       3t₀        4t₀            5t₀           6t₀            7t₀           8t₀           9t₀           10t₀                                                   t,мкс

-2d(t-3t₀)                  -2d(t-6t₀)                  -2d(t-9t₀)     

Так как , имеем:

Определим A(w) и B(w):