Исследование механической системы с применением уравнений Лагранжа второго рода

Если силы, действующие на систему, потенциальны, т.е. система консервативна, то обобщенная сила равна

.

Тогда уравнение (3.45) примет вид

.                                  (3.30)

Задача 5.  Исследование механической системы с применением уравнений Лагранжа второго рода

По условию задачи № 3 определить ускорение тела 1, используя уравнение Лагранжа П рода.

Решение.

1. Составление расчетной схемы.. На механическую систему действуют активные силы   , , .

Применяя принцип освобождаемости от связей только к внешним связям, покажем на расчетной схеме реакции шарнирно-неподвижной опоры    и  реакции шероховатой поверхности     и  . Силу трения направим в сторону, противоположную движению тела 3.

Изобразим скорости тел системы исходя из того, что тело 1 опускается.

2. Выбор теоремы.

Задачу решаем, используя дифференциальное уравнение механической системы в обобщенных координатах

.

Так как система имеет одну степень свободы, а определяем ускорение тела 1, то за обобщенную координату примем координату первого тела у

q=y.

Обобщенная скорость, в таком случае,  .

3. Составление уравнения.

а) Определение кинетической энергии системы.

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий тел 1,2 и 3.

.

Вычислим Q для неконсервативных сил

,

то есть

.

Работа сил    и   на заданном приращении обобщенной координаты равна нулю, так как силы приложены к неподвижной точке. Работа нормальной реакции поверхности N также равна нулю, сила перпендикулярна направлению движения.

Подставим в обобщенную силу значения

.

  или   .

в) Определение потенциальной энергии системы.

Потенциальная энергия численно равна работе потенциальных сил, действующих на систему, которую необходимо совершить, чтобы вернуть систему из отклоненного положения в положение равновесия.

.

Высота, на которую переместится точка приложения силы  , равна

.

В обобщенных координатах

.

Подставляя числовые параметры, запишем

.

Подставляем  значения  Т,  П и  Q  в  уравнение  Лагранжа  П  рода  и преобразовываем

,

,

, так как Т не содержит у.

.

Таким образом, запишем

,

Значение ускорения тела получили со знаком  «+». Это означает, что груз опускается ускоренно.

13.3. Кинетический потенциал и циклические координаты

Уравнение (3.30) можно преобразовать путем введения функции Лагранжа L=T- П, называемой кинетическим потенциалом.

Так как

,

, то, кинетический потенциал является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени:

.

Потенциальная энергия является функцией только обобщенных координат и времени, а потому

.

Пользуясь этим условием, получим:

.

Подставимэти частные производные в уравнения Лагранжа (3.46):

или

                 .                                       (3.31)

Уравнения (3.31) называются уравнениями Лагранжа второго рода для консервативной системы.

Обобщенные координаты, которые не входят явно в выражение кинетического потенциала L, называются циклическими координатами.

13.4. Последовательность решения задач на составление

уравнений Лагранжа

Последовательность составления уравнений Лагранжа:

1) определить число степеней свободы материальной системы;

2) выбрать систему координат и ввести независимые обобщенные координаты в числе, равном числу степеней свободы;

3) определить  обобщенные  силы системы ,  соответствующие избранным обобщенным координатам;

4) вычислить  кинетическую энергию Т рассматриваемой системы материальных точек;

5) найти  частные  производные  от  кинетической  энергии по обобщенным скоростям  , т.е.  , а затем вычислить производные от них по времени

;

6) определить  частные производные от кинетической энергии Т  по обобщенным координатам:  , т.е.

                    ;

7) полученные в пунктах 3,5  и  6  результаты  подставить  в уравнения Лагранжа.

Задача 3.26. Масса тележки 1 имеет , а масса находящегося на ней сплошного цилиндрического катка 2 равна . Определить, с каким ускорением будет двигаться тележка  вдоль горизонтальной плоскости под действием приложенной к ней силы  (рис. 3.88), если каток при этом катится по тележке без скольжения. Массой колес тележки пренебречь.

Рис. 3.88

Решение. Система имеет две степени свободы (независимы перемещение катка относительно тележки и перемещение самой тележки). В качестве обобщенных координат выберем координату х тележки и координату s центра масс катка относительно тележки. Тогда уравнения Лагранжа для системы будут:

.                                (а)

Кинетическая энергия тележки

                      

и катка

               , где  - абсолютная скорость центра С катка и численно . Так как для сплошного цилиндра

, а при качении без скольжения

, где s – относительная скорость центра С по отношению к тележке (считать здесь  было бы ошибкой), то окончательно получим

.                                   (б)

Тогда

.    (в)

Для определения обобщенных сил дадим сначала системе возможное перемещение, при котором координата х получает приращение δх>0. На этом перемещении

.

На перемещении же, при котором s получает приращение δs, очевидно, . Следовательно,

.

Подставляя эти значения  и    и значения производных, определяемые формулами (в), в равенстве (а), найдем следующие дифференциальные уравнения движения системы:

.                                    (г)

Из последнего уравнения , тогда первое уравнение дает окончательно для ускорения а₁ тележки значение

.

Если каток был бы на тележке закреплен неподвижно, то ее ускорение, очевидно, равнялось бы .

Отметим еще один результат. Допустим, что трения катка о тележку нет. Тогда он по тележке будет скользить, двигаясь поступательно, и

.

Легко видеть, что первое из уравнений (г) при этом не изменится, а второе, так как теперь

примет вид  и дает . В результате из первого уравнения системы (г) находим для ускорения тележки значение

.

Объясняется такой результат тем, что при отсутствии трения тележка не увлекает с собой катка и движется так, как если бы катка на ней вообще не было.

13.5. Малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы

Состояние покоя (равновесия) механической системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным (рис. 3.89). Состояние покоя механической системы называется устойчивым, если система, выведенная