Тепломассообмен. Основные законы и механизмы переноса теплоты, импульса и вещества в материальной среде. Теплопроводность: температурное поле; гипотеза Био-Фурье; краевая задача и условия однозначности; частные случаи теплопроводности; стационарный теплообмен, страница 6

            В основе предмета о физическом подобии лежит идея о независимости закона природы от конкретной системы мер, выбранной исследователем.

            Основная теорема подобия: физически подобные процессы – те, у которых безразмерные поля, характеризующие их одноименные величины, тождественны (поля скорости температур) в геометрически подобных конфигурациях при турбулентном и ламинарном течении (или два физические явления подобны, если они имеют одинаковое математическое описание (физическое подобие), равенство соответствующих критериев подобия и идентичность условий однозначности). Механически подобными течениями называются течения с геометрически подобными картинами линии тока.

            Для выполнения механического подобия необходимо, чтобы во всех подобно расположенных точках силы, действующие на элемент объема жидкости, находились в одинаковом отношении одна к другой во все моменты времени.

            Имеются только силы трения и силы инерции:

            Каждая точка критериальной функции соответствует группе подобных явлений. Критерии подобных явлений справедливы как для сжимаемых, так и несжимаемых течений.

            Теория подобия позволяет, не решая основной системы уравнений, выделить безразмерные (определенные) компоненты (критерии), которые определяют решение.

            При этом значительно уменьшается число определяемых факторов, и решение получается в наиболее общем виде.

            Введём для нестационарного режима течение понятие критерия подобия Био:

            отношение внутреннего термического сопротивления теплопроводности к внешнему термическому сопротивлению теплоотдачи               

            1) для шара: 2) для цилиндра: 3) для куба:

где сторона куба.

            В общем виде решение имеет вид:

            Таким образом, критерий подобия Био характеризует неравномерность температурного поля в теле. При тепло проходит «транзитом» сквозь стенку и температура не изменяется (нет температурного перепада), а при тепло скапливается вблизи поверхности. Такие случаи бывают на ракетах – «тонкая стенка» (в тепловом отношении нет перепада температур ).

Введём критерий подобия Фурье:

 

            где коэффициент температуропроводности, характеризующий темп прогрева или охлаждения тела.                                                                                                                                                                                                                                  Величина обратная  называется тепловой инерцией тела.      

            Критерий подобия Фурье – мера тепловой насыщенности тела; характеризует нестационарность процесса. Чем большетем ближе стенка к полному прогреванию.

            Критерии подобия Био и Фурье относятся к теплообмену теплопроводностью в твёрдых телах (нестационарная задача) и соответственно, учитывают физические свойства тел и временные характеристики.

            Критерий подобия Прандтля, характеризующий теплофизические свойства среды:

где толщина гидродинамического слоя; толщина температурного слоя.

            Критерий Эйлера, который следует из уравнения движения и характеризует соотношение перепада статических давлений к динамическому напору:

            В реальном напоре всегда есть потери полного давления.

            Критерий Архимеда, учитывающий массовые силы – отношение подъемной силы к силе вязкого трения:

где ускорение свободного падения; характерный размер; кинематическая вязкость;

       характерная плотность, где коэффициент теплового расширения;    

       разность температур, обусловливающих движение.

            Критерий Грасгоффа – частный вид критерия Архимеда для тепловой гравитационной (свободной) конвекции:

            Критерий Галилея:

            Критерий турбулентности:

где пульсационная скорость.

            Критерий С. С. Кутателадзе, который вводят при фазовых переходах:

где теплота фазового перехода.

            В реальной практике используют комбинированные критерии подобия.

            Критерий Пеклé для несжимаемой жидкости:

            Критерий Рэлея:

            Искомыми переменными в безразмерном виде являются критерии Нуссельта и Стантона.

            Критерий Нуссельта, который можно получить из дифференциального уравнения теплоотдачи методом масштабных преобразований – показывает во сколько раз теплоотдача больше теплопроводности:

где теплота за счет конвекции; теплота за счет теплопроводности.

            Если  то конвекции нет, только тепловодность.

            Получим искомое решение в безразмерном виде:  где локальное число Нуссельта; безразмерная координата.

            Введём понятия критерия Стантона и локального коэффициента сопротивления трению

            Критерий Стантона – безразмерный коэффициент теплоотдачи:

где коэффициент теплоотдачи

            Тогда

            Локальный коэффициент сопротивления трению:

            Используя выше приведенные выражения, получим:

            Если то справедливо только для пластины.                                                                                                    

            Важный вывод: механизм переноса импульса и тепла один и тот же. Если известен St, то можно определить  и наоборот.

            Критерий подобия Эккерта, который связан с выделением тепла при адиабатическом сжатии:

гдеразность температур тела и потока.

            Проведя некоторые преобразования, получим:

где число Маха: