Математика \ Математика

Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств, страница 2

+ = 1.

Поскольку x² = 4 – y², приведем последнее уравнение к виду

+ = 1.

Видя, что каждое слагаемое левой части неотрицательное, оценим левую часть:

+ 2 =

= 2= 2 = = 1.

Теперь ясно, что исходное уравнение равносильно системе

Неравенство этой системы обращается в равенство тогда, когда

= , т.е. 2 – у = .

Дальше все проходит автоматически:

= 1

Оба полученных корня принадлежат промежутку [-2;0) (0; 2].

О т в е т: x_1,2= ± .

3. Решить уравнение: + = 2xy–1 .

Р е ш е н и е. Перепишем в виде:

+ = 4xy–2 .

Первую часть представим, как сумму двух неотрицательных выражений применим

неравенство Коши.

+ 2= 2x²y²

Имеем

4xy – 2 2x²y²

Из исходного неравенства, получим:

x² y² – 2xy + 1 0,

(xy – 1)² 0, xy = 1, y = .

Подставив y = в исходное уравнение, получим:

x⁴ + = 2, x 0;

x⁸– 2x⁴ + 1 = 0;

(x⁴ – 1)² = 0; x⁴ = 1; x = 1; y = 1;

Ответ: x = 1; y = 1.

Опишем теперь способ, с помощью которого будут решены остальные уравнения этого пункта. Как и в предыдущих случаях, основой способа является неравенство Коши. Но оно теперь будет применяться к уравнениям вида

= g(x).

Сначала оценивают каждый арифметический корень левой части уравнения с учетом показателя степени корня, для чего подкоренное выражение представляют в виде произведения множителей, количество которых определяется показателем степени корня. Например,

= , = .

Затем складывают полученные оценки и записывают неравенство

(x), где φ(x) = + .

Таким образом, получают систему

, а из нее – неравенство (x) g(x).

Теперь остается определить, при каких x достигается равенство

в неравенстве (x) g(x).

Приведем ряд задач, в которых применяется этот способ.

4. Решить уравнение: .

Р е ш е н и е. Оценим каждый арифметический корень левой части уравнения. Учитывая, что подкоренные выражения неотрицательны, имеем:

= ; ==

Найдем сумму полученных выражений:

+ = 2, т.е. 2.

Преобразуем теперь правую часть исходного уравнения:

= () + 2 = ()² + 2 2, сравнивая

получим

откуда

и, следовательно, x= 2.

Остается проверить, удовлетворяет ли найденное значение x области допустимых значений неизвестного. Из условий

следует, что 1x3, т.е. 2[1; 3].

О т в е т:x= 2.

5. Найдите все пары чисел (x; у), удовлетворяющие уравнению:

+ = 2 – .

Р е ш е н и е. Запишем исходное уравнение в виде:

+ = 2 – .

Используя неравенство Коши и неотрицательность модуля действительного числа, найдем оценки для левой и правой части уравнения:

+ 2 = 2, 2 – 2.

Видим, что в первом случае равенство достигается только тогда, когда =,

а во втором . Из этих данных и находим решение: (x – 3)² =1, т.е. x равно 2

или 4. Отсюда находим, = 4 или = 2, т.е. y равен 2 или 16.

О т в е т: (4; 16)(2;2).

6. Решить систему уравнений:

, если x > 0,y> 0, z> 0.

Р е ш е н и е. В силу того, что x > 0,y> 0, z> 0, первое уравнение системы Можно записать в виде . Оценив левую часть этого уравнения с учетом показателя степени корня, получим