Незамкнутый контур поперечного сечения. Случай с простейшей тонкостенной балкой

2.5.2. Незамкнутый контур поперечного сечения.

Рассмотрим случай с простейшей тонкостенной балки, имеющей сечение в виде незамкнутого контура (рис.2.45). На рисунке пронумерованы по ходу часовой стрелки все рёбра, а также панели обшивки, причём стрингер и предшествующая ему панель имеют один номер ( в данном случае панель №1 отсутствует).  Представим себе, что конструкция, изображённая на рис. 2.45, находится в напряжённом состоянии, соответствующем поперечному изгибу без закручивания.  В этом случае  элемент этой конструкции, отсечённый двумя поперечными нормальными сечениями на расстоянии dz  друг от друга, будет нагружен нормальными и касательными напряжениями, действующими в местах разреза (рис.2.46). Считая обращённое к нам сечение на рис.2.46 за расчётное, обозначаем Р_k нормальные к сечению силы, действующие по площадям рассечённых рёбер ( с присоединённой обшивкой) и равные  ( за положительные примем растягивающие силы), и q_k – погонные касательные силы, действующие по площадям рассечённой обшивки. За положительное направление принимаем поток  по ходу часовой стрелки. На рисунке изображены положительные продольные и погонные касательные силы.

Соответствующие величины нормальных и погонных касательных сил на втором торцевом сечении, очевидно, будут отличаться от Р_k и q_k  на величины приращений (dP_k  и dq_k) этих величин по z, а так как это сечение соответствует меньшему z, чем расчётное, приращения мы берём со знаком минус.

Следует обратить внимание, что между двумя смежными рёбрами величина q постоянна по всей ширине данной панели, так как обшивку мы считаем свободной от нормальных напряжений  (см. подробнее в предыдущем разделе).

Задачей расчёта на сдвиг является определение погонной касательной силы q_k  в любой k – й панели обшивки.

Для определения q_k рассечём k – ю панель сечением по образующей (линия ab на рис. 2.46). Такое сечение разобьёт рассматриваемый нами элемент на две части. Рассмотрим условие равновесия одной из них, хотя бы верхней, приложив, разумеется, в месте разреза соответствующую погонную касательную силу q (рис. 2.47).

На рассечённой обшивке (линия ab на рис.2.47) будет действовать погонная касательная сила q, о которой из-за парности касательных напряжений известно, что в точке а она равна q_k, а в точке b она равна q_k - d q_k. Так как расстояние между точками  a и b мало (dz), будем считать, что от значения q_k до значения q_k - d q_k  погонная сила меняется линейно.

Запишем условие равновесия  элемента, изображённого на рис. 2.47, спроекти-ровав все силы на ось z:

                  (2.33)

Так как член dq_k dz – величина второго порядка малости, уравнение (2.33) после очевидных упрощений примет вид

                                                           (2.34)

Но нормальное напряжение, а следовательно, и силы при изгибе мы уже нашли, поэтому, подставив формулу (2.34) значение P_i из расчёта на изгиб, получим погонные силы для любой (k-й) панели обшивки.

Формула (2.34) получена для открытого (незамкнутого) сечения конструкции. Обозначим погонные касательные силы для этого случая q_ok, т. е.

,                                                         (2.35)

или, меняя местами знак суммы и знак производной, (выводим производную за знак суммы), получим:

,                                                      (2.36)

Подставим теперь в формулу (2.36) выражение продольных сил Р_i, полученное нами при расчёте на нормальный изгиб. Мы имели:

, где J_xпр – момент инерции приведенного сечения относительно главной центральной оси х сечения;

у_i – ордината ц. т. i-го ребра;

        φ_i – редукционный коэффициент i-го ребра;

М_х – изгибающий момент относительно оси х.

Очевидно, что

Р_i = F_iσ_i , где Fi-площадь сечения i-го ребра с присоединённой обшивкой.

Следовательно,

.

Но так как F_iφ_i=F_{i пр}, можно записать:

.                                                             (2.37)

Подставляя (2.37) в формулу (2.36), получим:

    в      

.

Но - есть статический момент относительно оси х всех площадей редуцированного сечения рассматриваемой части конструкции. Обозначим статический момент буквой S_xпр, а индекс, показывающий, какие элементы входят в S_xпр,  будем ставить вверху, тогда

.

Распишем теперь производную произведения так:

.   Подставляя   ,     получим

  .                                       (2.38)

В формуле (2.38) все величины или уже известны, или могут быть вычислены, следовательно, могут быть найдены и погонные касательные силы во всех панелях сечения. Правда, вычисление члена

         

(2.39)

для каждой панели обшивки чрезвычайно трудоёмко. Очевидно, что этот член отличен от нуля только в случае переменного по длине сечения.

В практических расчётах этим членом пренебрегают и тогда формула примет очень удобный для использования вид:

                                                                            

(2.40)

2.5.3.  Приближённый учёт «конусности»  конструкции

Отброшенный второй член правой части равенства (2.38) может быть вычислен приближённо для конструкции со слабо меняющимся по длине сечением. Для того, чтобы применить формулу  (2.38) в расчёте какого-нибудь из сечений крыла z = c, нам достаточно иметь значение производной (2.39) при соответствующем z. Рассмотрим небольшой длины отсек крыла, содержащий это расчётное сечение z = c (рис. 2.48).  В пределах этого отсека мы можем положить

;

.

Здесь F_{i пр}(z) и у_i(z) – текущие значения приведенных площадей сечений и ординат их центров тяжести;

F_{i пр}  и у_i – тоже для расчётного  сечения;

ψ₁(z) и ψ(z) – некоторые функции z/

Тогда  текущие  значения  статического  момента  S_{x пр} и момента инерции сечения J_{x пр} запишутся так:

;

                 

.

          

В этом случае выражение (2.39)             →                        

                                                                                                 принимает более удобный для применения вид                                 

.                                     (2.41)

В пределах малой длины отсека функцию ψ(z) допустимо считать линейной.

Пусть в точке О на оси z пересекутся мысленно продолженные нами образующие на рис. 2.48. Тогда из подобия треугольников получим

 

, или                                          .

Следовательно,

В сечении z = C эта производная примет значение

 

.

Если обозначить высоту расчётного сечения на рис. 2.48 буквой Н, а угол между крайними образующими отсека γ, то при малом γ

Н = γL              или                                      .

Тогда выражение (2.41) примет предельно простой вид

 

.         (2.42)

Остаётся подставить полученное выражение для производной  (2.42) в формулу (2.38)

, получим                                                    .  (2.43)

Получена , таким образом, очень простая формула (2,43), позволяющая учитывать «конусность» крыла при расчёте на сдвиг. Она отличается от формулы (2.40) только тем, что взамен поперечной силы в сечении принимается уменьшенная за счёт «конусности». Величина                вычисляется в каждом сечении достаточно просто, так как Н и  γ могут быть сняты прямо с чертежа.

Продолжение следует!