Сферические функции, оператор Лапласа в сферических кординатах, страница 2

Введём оператор

Рассмотрим интеграл

Учитывая, что

Формула называется первой формулой Грина

Поменяв местами u  и v

Вычитая, получаем

-Вторая формула Грина.

В частном случае, когда

В трёхмерном случае введём сферическую систему координат  с центром в токе . Найдём решение уравнения Лапласа зависящее только от расстояния до -

Решение  называется фундаментальным решением для уравнения Лапласа.

В двумерном случае

 фундаментальное решение удовлетворяют уравнению во всех точках кроме

Третья формула Грина

Пусть

Поскольку в области   то переходя к пределу