Специальные функции, цилиндрические функции, страница 3

Для функций Ханкеля справедливы рекуррентные соотношения аналогичные рекуррентным соотношениям для функции Бесселя

Приведём без доказательства ещё одну важную формулу

Определение. Функция

называется функцией Неймана.

Используя это определение, получим

Теорема. Функции Бесселя и Ханкеля линейно независимы.

Схема доказательства. Достаточно доказать, что определитель Вронского отличен от нуля.

Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента

Определение. Функция

называется функцией Инфельда.

Замечание. Очевидно при вещественном положительном  Функция Инфельда принимает вещественные значения.

Определение. Функция

Называется функцией Макдональда.

Функция Макдональда также является действительной функцией при положительном

Общее решение уравнения

может быть записано в виде

Общее решение уравнения

может быть записано в виде

Полиномы Лежандра.

Краевая задача для полиномов Лежандра имеет вид

Собственные значения . Сами полиномы Лежандра определяются с помощью Формулы Родрига