Дифференциальное исчисление функции многих переменных с примерами выполнения контрольных работ

Петербургский  государственный университет путей сообщения

Кафедра «Высшая математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Методические указания  для студентов заочного факультета с примерами  выполнения контрольных работ

Санкт-Петербург

2006

§1. Частные производные

     Рассмотрим функцию двух переменных

.                                                       (1.1)

Пусть и - приращения переменных  и  соответственно.          Введём обозначения

                      ,                                      (1.2)

,                                      (1.3)

.                                      (1.4)

  будем называть частным  приращением функции по переменной ,     - частным  приращением функции по переменной ,   - полным приращением функции (или просто приращением).

Частной производной  функции      по переменной  называется  предел отношения частного  приращения функции  по  к приращению  при стремлении к нулю.

Частную производную  функции      по переменной обозначают одним из символов  , , ,.

Таким образом,                          .                        

Аналогично частную производную  функции      по переменной обозначают одним из символов  , , , и по определению

.

Для функции  переменных   частная производная по переменной  имеет вид

.

Из определения следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами  дифференцирования функции одной переменной, но при вычислении частных производных полагают, что другие переменные (по которым не производится дифференцирование)   принимают постоянные значения.

Пример 1.1. Найти частные производные функции .  Для нахождения  полагаем

.

Для нахождения  полагаем

.

Пример 1.2. Найти частную производную по переменной  функции . Полагая  и , находим  .

§2. Дифференциал функции нескольких переменных

Рассмотрим  функцию (1.1) и её приращение (1.4). Если функция  в точке   имеет непрерывные частные производные      и , то её приращение  представимо в виде

                           ,                              (2.1)

где  ;  - бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с .

Сумма первых двух слагаемых в выражении (2.1) линейно зависит от  и   и представляет собой главную часть приращения.

Если приращение  функции   представимо в виде (2.1), то функция называется дифференцируемой  в точке  , а линейная часть приращения называется дифференциалом и обозначается через  или .

Из определения  и формулы (2.1) следует

                                             .                                    (2.2)

Введем обозначения      и . Тогда

.                                      (2.3)

Пример 2.1. Найти дифференциал функции . Находим сначала частные производные ; .

                                       .                      (2.4)

Из формулы (2.1) следует, что приращение функции   и её дифференциал  отличаются на бесконечно малую более высокого порядка малости по сравнению с . В приближённых вычислениях полагают  . Тогда справедливо приближённое равенство:

.                                      (2.5)

Пример 2.2.  Вычислить приближенно, заменив приращение функции дифференциалом. Введем функцию .    . Используя (2.5), получим

.

Дифференциал  найден в примере 2.1. Для нахождения  подставим в формулу (2.4) следующие значения:

, , , .

.

.

§3. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

    Уравнение 

                                                                                     (3.1)

в пространстве задаёт некоторую поверхность. Уравнение (1.1) является частным случаем уравнения (3.1).

Пусть - точка поверхности, заданной уравнением (3.1). Плоскость, в которой расположены касательные прямые к кривым на поверхности, проходящим через точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Уравнение касательной  плоскости имеет вид

             .           (3.2)

Прямая, проведенная через точку  перпендикулярно касательной  плоскости, называется  нормалью к поверхности в точке . Уравнение  нормали имеет вид

                              .                                (3.3)

или в параметрической форме,   .     (3.4)            

Пример 3.1. Найти уравнения касательной  плоскости  и нормали к поверхности   в точке .  Приведем уравнение  поверхности  к виду (3.1)

.

;  ;;.

Находим частные производные.

; ;.

; ;.

Используя (3.2), находим уравнение касательной  плоскости

или                   .

Используя (3.3), находим уравнение нормали

или                                     .

§4. Частные производные высших порядков

Рассмотрим функцию двух переменных (1.1). Её частные производные  и  также являются функциями двух переменных и могут быть продифференцированы как по  , так и по . Второй производной от функции    по , называется производная по  от . То есть

                                               .                                      (4.1)

Второй производной от функции    по , называется производная по  от . То есть

     .                                     (4.2)

Если  продифференцировать  по, то получим вторую  смешанную производную

 .                                     (4.3)

Если  продифференцировать  по, то получим еще одну  смешанную производную второго порядка

 .                                     (4.4)

Аналогично  вводятся производные  третьего и более высокого порядка. Например,  - производная  -го порядка; функция  сначала  раз дифференцируется по , а затем  -  раз по . Если функция  имеет непрерывные частные производные, то при нахождении смешанных производных порядок дифференцирования не играет роли. То есть

,

.

Пример 4.1. Найти частные производные второго порядка функции .  Найдем сначала  и . ; .

Используя формулы  (4.1) - (4.4), находим

; ;

; .

§5. Экстремумы функции двух переменных

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой области , содержащей точку .

Будем говорить, что функция  имеет максимум в точке , если у  существует  такая окрестность, что для всех точек  из этой окрестности, справедливо неравенство

.

Будем говорить, что функция  имеет минимум в точке , если у  существует  такая окрестность, что для всех точек  из этой окрестности, справедливо неравенство

.

Максимум и минимум функции называются  экстремумами функции.

Теорема1(Необходимые условия экстремума).

Если функция  имеет экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, то частные производные первого порядка в точке  равны нулю, то есть

   .                                                  (5.1)

Точки, в которых выполняются условия (5.1) называются стационарными точками.

Функция    может иметь экстремум только в стационарных точках или в точках, в которых  и   не существуют. Все эти точки называют критическими точками функции  или точками  возможного  экстремума.

Теорема2 (Достаточные условия экстремума).

Пусть в некоторой окрестности стационарной точки  функция дважды дифференцируема, и все частные производные второго порядка непрерывны в этой точке. Введем обозначения:

;  ;  ;  .     (5.2)

Если  и , то  имеет минимум в точке ; если  и , то  имеет максимум в точке ;

если , то  не  имеет экстремума в точке ;

если , то может иметь и может не иметь экстремум в точке , требуется дополнительное исследование.

     Таким образом, для  того чтобы найти  экстремумы дифференцируемой функции, достаточно определить её  стационарные точки  и в каждой стационарной точке  проверить выполнение достаточных условий экстремума.

Пример 5.1. Найти экстремумы функции . Определяем частные производные первого порядка

; .  и  существуют во всех точках плоскости. Стационарные точки находим из системы (5.1)

      .                                             (5.3)

Система (5.3) имеет два решения  и . Следовательно, функция  имеет две стационарные точки  и

Частные производные второго порядка найдены в примере 4.1

; ;.

Исследуем точку. Используя формулы (5.2), находим

;  ; 

;  .

. Следовательно, в точке функция не  имеет экстремума.

Аналогично исследуем точку.

;  ; 

;  .

 и . Следовательно, в точке функция   имеет минимум. .

§6. Наибольшее и наименьшее значения функции

Пусть функция  непрерывна  в замкнутой ограниченной области  с границей. Тогда она достигает в области  своего наибольшего и наименьшего значений. Если функция дифференцируема в области , то эти значения достигаются либо во внутренних стационарных точках области  либо на границе области .

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений следует

-  найти стационарные точки функции, лежащие внутри области , вычислить значения  в этих точках и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

-  найти наибольшее и наименьшее значения на границе области ;

-  сравнить наибольшее и наименьшее значения во внутренних  стационарных точках области  с наибольшим и наименьшим значениями на границе .

Пример 6.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области , заданной неравенствами ,  , .

Область  представляет собой треугольник (рис.1). ; . Система (5.1) для определения стационарных точек примет вид

 .                                              (6.1)

Система (6.1) имеет четыре решения

  ;   ;   ;   .

Следовательно, функция имеет четыре стационарные точки, две из которых  и  лежат внутри области . Вычислим значения  в этих точках.

 ;  .

Выбирая из найденных значений наибольшее и наименьшее, получим, что внутри области

;.                                  (6.2)

Исследуем функцию на границе области . Граница  состоит из  отрезков ,  и.

Рассмотрим отрезок . Уравнение

, .

Функция на границе примет вид .

  -  функция одной переменной , заданная на отрезке , которая принимает наибольшее и наименьшее значения либо во внутренних стационарных точках отрезка либо в  его граничных точках. Находим стационарные точки функции  .

; .

Следовательно,  - стационарная точка отрезка .

.

Находим значения функции в граничных точках отрезка .

 ;   .

Рассмотрим отрезок . Уравнение

, .

Функция на границе  примет вид .

  -  функция одной переменной , заданная на отрезке , Находим стационарные точки функции  .

; .

Следовательно,  - стационарная точка отрезка .

.

Находим значения функции в граничных точках отрезка . уже найдено.

 .

Рассмотрим отрезок . Уравнение

, .

Функцияна границе примет вид .

  -  функция одной переменной , заданная на отрезке , Находим стационарные точки функции  .

; .

Следовательно,  - стационарная точка отрезка .

.

Значения функции в граничных точках отрезка уже найдены. Выбирая  из  значений ,, ,,,, определяем наибольшее и наименьшее значения на границе области .

  ;    .                         (6.3)

     Сравнивая  (6.2) и (6.3), окончательно находим наибольшее и наименьшее значения функции в области

;    .

§7. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Пусть некоторая функция  задана таблицей значений, полученных, например, в результате эксперимента.

		…..		…..
		…..		…..

- значение функции в точке .

Требуется приблизить (аппроксимировать) результаты эксперимента функцией , в которую входят параметры . При этом параметры подбираются таким образом, чтобы приближенная зависимость  была в каком-то смысле наилучшей. В методе наименьших квадратов параметры  находят из условия минимума суммы квадратов отклонений точного и приближенного значений функции в точках .

Рассмотрим применение этого метода  на примере линейной аппроксимирующей функции  вида

 .                                     (7.1)

Тогда

- значение функции  в точке   (приближенное значение);

- разность приближенного и точного (экспериментального) значений в точке  (отклонение в точке );

-  квадрат отклонения в точке .

Просуммировав квадраты отклонений по всем точкам , получим сумму квадратов отклонений

.                                    (7.2)

Найдем минимум  функции  как функции двух переменных и . Вычислив частные производные  и , воспользовавшись необходимыми условиями экстремума (5.1) и выполнив элементарные преобразования, получим систему уравнений

        .                                      (7.3)

Система (7.3) – линейная система относительно и . Можно показать, что решение этой системы (,) является точкой минимума функции .

Таким образом, для того чтобы  найти линейную аппроксимирующую функцию достаточно

-  используя табличные значения ,, вычислить коэффициенты  системы (7.3);

-  найти решение системы (7.3) и подставить найденные значения и в функцию (7.1).

§8. Производная по направлению. Градиент

Рассмотрим функцию , определённую в области , содержащей точку , и вектор . Из точки  проведем  луч, направление которого определяется вектором ,  и выберем на этом луче точку .

Производной функции  по направлению  в точке , будем называть предел отношения   при стремлении точки  к точке  вдоль луча . Обозначать введенную производную по направлению будем через  .

Таким образом, по определению

.                             (8.1)

Если функция  имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным в области , то в любой точке  и для любого направления , справедлива формула

,             (8.2)

где ,, - направляющие косинусы  вектора , которые вычисляются по формулам

,

,  .            (8.3)

Пример 8.1. Найти производную функции  по направлению  в точке .

Найдём частные производные, входящие в формулу (8.2).

, ;

, ;

, .

Найдём направляющие косинусы  вектора . 

Подставляя  в (8.3) ; ; , находим

,,.

Используя (8.2), окончательно получим

.

Градиентом функции  в точке , будем называть вектор

.             (8.4)

Пример 8.2. Найти градиент функции   в точке .  Частные производные функции в точке  найдены в примере  8.1. Используя (8.4), получим   .

Если функция  зависит от двух переменных, а вектор  и  точка  принадлежат плоскости, то формулы  (8.2), (8.3) и (8.4) примут вид

,                          (8.5)

    ,  ,                            (8.6)

.                            (8.7)

§9. Пример  выполнения  типового  задания (контрольная работа 4).

Задание 1.  Найти частные производные второго порядка для функции  и показать, что она удовлетворяет уравнению .

Решение:Найдём сначала частные производные первого порядка . При вычислении частных производных по x предполагаем, что вторая переменная yпринимает постоянное значение. При вычислении частных производных по y предполагаем, что вторая переменная x принимает постоянное значение. ; ; ; ; .

Проверим, удовлетворяет ли функция уравнению. Для этого подставим полученные частные производные второго порядка в заданное уравнение  и получим , что и требовалось доказать.

Задание 2. Дана функция  и точки А(2;1) и В(2,1;0,9).

Требуется:

1)  вычислить точное значение функции в точке В;

2) вычислить приближённое значение функции в точке В, исходя из значения функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;

3) оценить в процентах относительную погрешность;

4) составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке С(2;1;z(А)).

Решение: 1) Вычислим точное значение функции в точке