Таблица, устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и их относительными частотами

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Таблица, устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и их относительными частотами, называется статистическим распреДелением случайной величины Х

Например, для выборки (3, 2, —1, 2, 3,0) вариационный ряд имеет вид

О, 2, 3), п = б, = 1, п, = 1, = 2, = 2, а статистическое распределение —

Для непрерывной случайной величины Х ее статистическое распределение целесообразно представить в виде интервальной таблицы

где Wi — относительная частота попадания случайной величины в интервал (4-1, 4). При этом если случайная величина принимает значений, равных „З, то для четного половину этих значений относят к интервалу 4), а вторую половину — к интервалу (4, 4+1). Для нечетного к левому интервалу

относят значений, а к правому интервалу значений. 2 2

Функция определяющая для каждого значения х относительную частоту Щ события Х х (где пх — число наблюдений, при которых наблюдалось значение, меньшее х): называется эмпирической функцией распределения. При этом функция F(x) распределения генеральной совокупности называется теоретической функцией распреДеления.

Эмпирическая функция распределения Fn(x) соответствует статистическому распределению и при возрастании п стремится по вероятности к функции ах), т.е. для любого х R и любого Е > О имеет место равенство

lim POFn(x)— = О.

Это означает, что при больших п эмпирическая функция распределения хорошо приближена к теоретической функции распределения ах).

Для наглядного изображения статистических распределений строят различные графики.

Если Х — дискретная случайная велйчина, строится ломаная, отрезки которой соединяют точки (х, , щ), (Ч, ик), (хк, Ч). Такая ломаная называется полигоном распределения.

Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины Х строятся диаграммы, называемые гистограммами. Для лого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения, разбивается на равные части с шагом 1, 2 , К, и для каждого i определяется сумма частот

вариант, попавших в интервал (4-1, 4).

Гистограмма частот представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются отрезки Ц, з, а высоты равны , К. Площадь гистограммы частот равна

сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются отрезки

, а высоты равны К. Площадь гистограммы

относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. Гистограмма относительных частот позволяет приближенно судить о функции плотности распределения, поскольку при достаточно больших п и малых h ломаная, соединяющая середины верхних горизонталей прямоугольников. приближена к функции плотности. Указанную ломаную будем называть ломаной гистограммы.

Выборочным среДним значением случайной величины Х, заданной статистическим распределением, называется выражение

или

аналогично определяется генерааьное среДнее значение

(1)

где [У . Так как -Т =Й — вероятность, с которой величина Х принимает

значение то равенство (1) переписывается в виде

хг = + Х2А+... +Х,И.

В соответствии с законом больших чисел при достаточно большом п выборочное среднее значение хв приближенно равно математическому ожиданию М(Х). Поэтому для больших п часто считают, что хв = М(Х).

Статистической Дисперсией случайной величины Х, заданной статистическим распределением, называется выражение

+ w2(x2 ²

Величина (Х) называется среДним кваДратичным

отклонением.

При большом объеме выборки имеет место следующее приближенное равенство: Ы (Х) Ц Х). Поэтому для достаточно больших п часто считается, что D• (Х) = Ц Х) и о • (Х) =

Для подсчета величины В (Х) пользуются формулой

ПРИМЕР 4

В результате испытаний случайная величина Х приняла следующие значения: хо- 2, Хв= 1,

Требуется:

) построить статистическое распределение;

2) построить эмпирическую функцию распределения;

З) изобразить полигон распределения;

4) считая величину Х непрерывной, составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток (О; 10) на пять участков, имеющих одинаковые длины; построить гистограмму относительных частот и ее

ломаную;

5) найти выборочное среднее значение, статистическую дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х.

Решение

1. Составим таблицу частот:

х		2	З	5	6	7	9
	2	2		З	2
Так как объем выборки вид			равен 12, то статистическое распределение имеет
		2	з	5	6	7	9
	2/12	2/12	1/12	3/12	2/12		1/12
т.е.
х		2	З	5	6	7	9.
w	0,167	0,167	0,083	0,25	0,167	0,083	0,083

Контроль: 0,167 + 0,167 + 0,083 + 0,25 + 0,167 + 0,083 + 0,083 = (при округлении нужно учитывать, что сумма относительных частот должна быть равна единице).

2. Имеем

График функции Е изображен на рис. 9.

3. Возьмем на плоскости точки О; 0,167), (2; 0,167), (3; 0,083) и т.д. Последовательно соединив эти точки отрезками, получим полигон распределения (см. рис. 10).

0.75

0.5

0,25