Кварцевые резонаторы. Общие сведения о кварцевых резонаторах, страница 2

В зависимости от формы пластины, типа среза, граничных условий и способов возбуждения кварцевой пластине могут возникнуть различные виды колебаний:

1.  Колебания сжатия – растяжения

2.  Колебания изгиба

3.  Колебания кручения

4.  Колебания сдвига

Колебания сдвига могут происходить:

А) по контуру, в этом случае углы сдвигаются по грани и пластина растягивается по одной диагонали и сжимается по другой. Размеры определяют резонансные частоты;

Б) по толщине, которая в этом случае и определяет резонансную частоту.

На низких частотах используются колебания изгиба или кручения и сдвига по контуру, на более высоких частотах чаще используются колебания сжатия – растяжения и сдвига по толщине.

Механические колебания могут происходить как по основной частоте, когда в направлении их укладывается половина волны и имеется один узел механических колебаний, так и на механических гармониках, когда в направлении колебания укладывается целое количество полуволн и появляется несколько узлов механических колебаний.

Механические гармоники кварцевого резонатора часто применяются для возбуждения высоких частот, на которых невозможно получить кварцевого резонатора на основной частоте вследствие трудности изготовления очень тонких пластин.

Эквивалентная электрическая схема и эквивалентные параметры кварцевых резонаторов

Кварцевый резонатор, совершая механические колебания под действием электрического поля, сам влияет на него, поэтому поведение кварцевого резонатора в электрическом поле может быть охарактеризовано при помощи электрической схемы.

Определим эквивалентную схему кварцевого резонатора с колебаниями пластины по толщине.

Пусть кварцевая пластина имеет:

1.  Эквивалентную массу , где r - плотность кварца, V – объем пластины, d – толщина пластины, S_п – площадь пластины, a - коэффициент, зависящий от колебаний.

2.  Коэффициент трения , где N – величина, характеризующая потери в кварцевой пластине из-за внутреннего трения, способа крепления, давления воздуха, b - коэффициент, зависящий от вида колебаний.

3.  Динамическую упругость , где c – константа упругости, g - коэффициент, зависящий от вида колебаний.

Условие равновесия сил, действующих на пластину,

где F – внешняя сила, вызванная напряжениями, х – смещение эквивалентной массы от положения равновесия в момент времени t.

Для случая  можно представить условие равновесия сил в виде

.

Найдем напряженность электрического поля .

Вследствие обратного пьезоэффекта в пластине образуются механические напряжения , где e_u  - пьезоэлектрический модуль.

Механическому напряжению х соответствует механическая сила   .

Отсюда можно найти выражение для напряжения

.

Найдем плотность зарядов на поверхности пластин

, где Q_з – заряд на поверхности пластины,

 - деформация пластин.

С учетом нахождения плотности зарядов на поверхности пластин находим . Зная Q_з, легко найти ток через пластину

.

Из формул для напряжения и тока найдем выражение для полного электрического сопротивления кварцевого резонатора

.

Из уравнения равновесия сил находим выражение для   и, подставляя в выражение для полного электрического сопротивления кварцевого резонатора, получаем выражение для полного электрического сопротивления кварцевого резонатора

.

Эквивалентное сопротивление кварцевого резонатора можно представить в виде

.

Из сравнения двух выражений для полного электрического сопротивления кварцевого резонатора находим значение для эквивалентного сопротивления R_к, эквивалентной индуктивности L_к и эквивалентной емкости C_к:

Данные формулы выедены в предположении равенства площадей  пластины и электродов. При отсутствии пьезоэффекта кварцевая пластина представляет собой статическую емкость С_{0 пл}, образованную двумя электродами кварцевого резонатора с диэлектриком – кварцем с диэлектрической постоянной К_д:

, где S_e – площадь электродов кварцевого резонатора.

Для определения статической емкости кварцевого резонатора к статической емкости кварцевой пластины С_0пл следует добавить емкость кварцедержателя С_д       (современные кварцевые держатели имеют емкость С_д менее 1 пф)

.

Эквивалентная электрическая схема кварцевого резонатора состоит из последовательного соединения индуктивности L_к, емкости С_к, сопротивления R _к  и емкости С ₀ , которая шунтирует последовательное соединение L_к ,C_к и R_к.

Следует отметить, что, кроме основного, кварцевый резонатор имеет ряд дополнительных резонансов, обусловленных одновременным существованием различных форм колебаний.