Электростатика. Предмет изучения. Работа в электронном поле, страница 4

Дивергенция векторного поля. Для описания процессов, связанных с положением и сохранением физ-х величин вводится мат-е понятие дивергенции как локальное св-во векторного поля. Пусть имеется вектор A(x,y,z,), опред-ый во всех точках пространства. Рассмотрим поверхность S. Интеграл Ф_A=∫_sAdS наз-ся потоком вектора A через поверхность и хар-ет интенсивность порождения (полож-й поток) или уничтож-я (поток отриц-й). Можно сказать, что интеграл хар-ет суммарную мощность источников вектора A внутри объема. Точечный источник генерирует силовые линии A. Дивергенция (англ. divergence - расходящийся) вектора A хар-ет интенсивность такой генерации, или мощность точечных источников и опред-ся ф-лой: diva=lim_∆V→0*   _sAdS/∆V    (иногда операцию div наз-ют объемной плотностью источника). Суммирование мощностей источников по объему, в котором они заключены lim_∆Vi→0∑_∆Vi(divA)_i∆V_i=∫_vdivAdV, или ∫_vdivAdV=   _sAdS  (8) наз-ся формулой Гаусса и связывает интеграл по объему от дивергенции вектора с потоком этого вектора сквозь ограничивающую объем замкнутую поверхность. Связанные заряды. Вернемся к связанным зарядам. По опред-ю ∫_vρ_tdV=Q, а из опред-я дипольного момента и вектора поляризации: dQ=PdS, тогда получаем: ∫_vρ_tdV=  =-∫_sPdS. Знак ”-“ показывает, что в объеме возникает заряд противопол-й по знаку тому, что вытекает ч/з ограниченную объемом поверхность. С учетом (8) получаем объемную плотность связ-х зарядов: ∫_v(ρ_t+divP)dV=0, ρ_t=-divP (9). Объемные связанные заряды возникают лишь в том случае, когда поляризованность P изменяется от точки к точке. На границе двух различных диэлектриков возникают поверхностные заряды, так как при одной и той же E в различных диэл-ках поляризованность различная. След-но, граничная поверхность пересекается различным числом поляризованных зарядов со стороны каждого диэлектрика. В результате, вблизи границы сосредоточивается некоторый заряд, который называется связанным. Его поверхностная плотность обозначается σ_t. Из (8) и интегрируя  по  объему  (9)  получаем: ∫_vρ_tdV= -∫_vdivPdV, ∫_vρ_tdV=σ_t∆S, ∫_vdivPdV=∫_sPdS=∫_s2P₂dS₂+∫_s1P₁dS₁=P_2n∆S-P_1n∆S, или σ_t= -(P_2n-P_1n). Для вакуума – диэл-к, поляриз-ть которого равна 0: σ_t=P_n- нормальная компонента поляризованность диэл-ка  на его границе с вакуумом.

                                     №6

Поверхностная плотность зарядов - отношение суммарного заряда Q_i к элементарной плоади ∆S. Линейная плотность заряда – отнош-е суммарного заряда к длинне участка бесконечной тонкой заряженной нити. Поверхностная плотность в контакте м/у двумя диэл-ками: По определению ∫_V ρ_t dV , а из определения дипольного момента и вектора поляризации: dQ=PdS тогда получаем ∫_v ρ_t dV= -∫_sPdS:. Знак ”-“ показывает, что в объеме возникает заряд противоположный по знаку тому, что вытекает через ограниченную объемом поверхность. С учетом ∫_vdivAdV=о∫_sAdS_s, откуда получаем объемную плотность связанных зарядов: ∫_v (ρ_t +divP)dV. Объемные связанные заряды возникают лишь в том случае, когда поляризованность  изменяется от точки к точке. На границе двух различных диэлектриков возникают поверхностные заряды, так как при одной и той же  в различных диэлектриках поляризованность различная. Следовательно, граничная поверхность пересекается различным числом поляризованных зарядов со стороны каждого диэлектрика. В результате, вблизи границы сосредоточивается некоторый заряд, который называется связанным. Его поверхностная плотность обозначается. Из и интегрируя по объему  получаем: ∫_vdivPdV=∫_sPdS= ∫_s2PdS₂+∫_s1PdS₁=P_2n∆S-P_1n∆S; с учётом определения поверхностной плотности σ_t=-( P_2n-P_1n). Для вакуума - диэлектрик, поляризованность которого равна 0: - нормальная компонента поляризованность диэлектрика  на его границе с вакуумом. Ф-ла Пуассона и условие Лапласа. Применим формулу Остроградского - Гаусса для вектора:  ∫_vdivEdV=о∫_sEdS ; о∫_sEdS=1/ε₀∫_v ρ dV тогда электростатическая теорема Гаусса запишется в виде: ∫_v(divE-ρ/ε₀)dV.  Одним из методов определения напряженности поля явл-ся сведение задачи к решению дифференциального уравнения для потенциала. Подставим E=-gradφ  в divE=ρ/ε₀  и получим: divgradφ=-ρ/ε₀. Учтем, что,  divgradφ=d²φ/dx₂+ d²φ/dy₂+ d²φ/dz₂. Окончательно получаем формулу Пуассона:  ▼² =-ρ/ε₀. Для областей пространства без зарядов: ▼² =0 (условие Лапласа). Диэлектрическое смещение. С учетом связанных зарядов формула Пуассона запишется в виде: divE = ρ_t/ε₀+ ρ_f/ε₀  или div(Eε₀ + P) = ρ_f =divD. Вектор D называется вектором смещения. Он не явл-ся чисто полевым вектором, т.к. учитывает поляризацию среды. Из видно, что единственным источником  являются свободные заряды, на которых этот вектор начинается и заканчивается. Так как, P=κε₀E то, D=(κε₀ +ε₀)E=Eε где ε - диэлектрическая проницаемость, характеризующая способность вещества не пропускать сквозь себя электрическое поле. Умножим обе части (1.10) на dV и  интегрируя по объему V, получаем в конечной форме записи электростатическая теорема Гаусса при наличии диэлектриков:  ∫_vdivDdV=о∫_sDdSs ; ∫_v ρ dV =Q; о∫_sDdS =Q