Дифференциальное уравнение системы. Структурная схема замкнутой системы

Задание на РГР:

p0=-6;  p1=-0.1; p2=-0.2; p3=-1+j0.5; p4=-1-j0.5; p5=0; K=100

По заданным нулю и пяти полюсам передаточной функции разомкнутой системы записать выражение для:

1)  Передаточной функции разомкнутой системы

2)  Передаточной функции замкнутой системы

3)  Дифференциальное уравнение системы

4)  Составить и нарисовать структурную схему замкнутой системы

Найти:

1)  АЧХ разомкнутой системы

2)  ФЧХ разомкнутой системы

3)  АФХ разомкнутой системы

4)  Переходную характеристику разомкнутой системы

5)  Весовую функцию разомкнутой системы

6)  ЛАЧХ и ЛФЧХ

7)  Построить асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ

Проанализировать устойчивость системы:

1)  Методом Райвиса-Гурвица

2)  Методом Михайлова

3)  Методом Найквиста.

4)  По ЛАЧХ и ЛФЧХ

5)  Определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе в случае устойчивой системы

6)  Дать рекомендации по изменению структурной схемы в случае неустойчивой системы.

Решение:

1) Передаточная функция разомкнутой системы:

2) Передаточная функция замкнутой системы:

3) Дифференциальное уравнение системы:

В дифференциальной форме передаточную функцию системы можно записать в следующем виде: т.е. отношение реакции цепи на воздействие к этому воздействию.

Учитывая , получаем дифференциальное уравнение цепи:

4. Структуру замкнутой системы можно представить в виде разомкнутой системы, охваченной ООС. Разомкнутую систему можно представить в виде включенных последовательно звеньев:

;

Значит структурная схема имеет вид:

5) АЧХ разомкнутой системы:

6) ФЧХ разомкнутой системы:

7) АФХ разомкнутой системы:

8) Переходная характеристика разомкнутой системы:

9) Весовая функция:

10) ЛАЧХ и ЛФЧХ:

ЛФЧХ:

11) Асимптотическая ЛАЧХ:

12)Оценка устойчивости методом Рауса-Гурвица:

Для того чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все g_i были больше нуля и .  Следовательно, данная система неустойчива.

13) Оценка устойчивости методом Михайлова.

Как мы видим годограф Михайлова не обходит последовательно все четверти следовательно система неустойчива.

14) Оценка устойчивости методом Найквиста:

Построим АФХ системы:

Посмотрим, охватывает ли АФХ  точку (-1:j0). Так как при положительном переборе частот от  0 до бесконечности обход идет против часовой стрелки, следовательно, внутренняя область от оси, следовательно, точка (-1;j0)  попадает в контур, следовательно, система неустойчива.

15) Оценка устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Сопоставляя график ЛАЧХ и ЛФЧХ видим, что при L(A(ω))>0 не происходит   положительных переходов. Следовательно, система не устойчива.

16) Для того чтобы система стала устойчивой необходимо изменить передаточную характеристику системы. Для повышения устойчивости уберем из цепи интегратор, значение нуля  увеличим до -0.1 и уменьшим K до трех. Проверив устойчивость системы критерием Рауса-Гурвица, увидим, что она стала устойчивой.