Принцип предельного поглощения и условия излучения на бесконечность

Страницы работы

7 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

были рассмотрены при формулировании условия единственности решения внешних задач электродинамики (уравнений Максвелла).

10.2 Лемма Лоренца

Лемма Лоренца устанавливает взаимосвязь между интенсивностью сторонних источников, разнесенных в пространстве, и возбуждаемыми ими электромагнитными полями.

Предположим, что вблизи  точки 1 находится сторонний источник, который характеризуется , : , .

В точке 2 расположен другой источник , :, .Пусть среда характеризуется параметрами: 

Очевидно, что взаимосвязь между ними может быть описана уравнениями Максвелла:         

                                             

                                             

Аналогично для второго источника:

                                             

                                            

Умножим скалярно выражение на , выражение на , а затем вычтем из второго результата первый:

                                    

Умножим скалярно выражение на , а выражение на и из первого результата вычтем второй:

                                    

учтем следующие векторные тождества:

Используя и , можно записать следующим образом:

                                                

                                                

Из вычтем :

                                           

Уравнение называется леммой Лоренца в дифференциальной форме (соотношение справедливо в каждой точке пространства, где имеются сторонние источники).

Проинтегрируем по общему объему, который включает в себя все сторонние источники:

                       

Левую часть преобразуем, используя теорему Остроградского-Гаусса. В соответствии с этой теоремой:

                                       где S1 — замкнутая поверхность, ограничивающая объем.

Тогда с учетом соотношение запишется в следующем виде:

                            

Выражение называется леммой Лоренца для ограниченного объема.

Рассмотрим случай бесконечного увеличения объема V1. При этом поверхность S1 размещается в бесконечно удаленных точках относительно расположения сторонних источников. В случае неограниченного объема V1 поверхностный интеграл в равен 0. Это можно объяснить, используя 2 аргумента:

1)   поверхность S1 удалена на бесконечность. Скорость распространения имеет конечное значение, то есть за любой конечный промежуток времени волны не смогут достигнуть поверхности S1, иными словами, на поверхности S1 отсутствуют составляющие поля, а, следовательно, интеграл по этой поверхности будет равен нулю

2)   как нам известно, в дальней зоне амплитуда составляющих поля убывает пропорционально 1/r. В случае реальных сред, которые характеризуются малыми, но конечными по величине потерями, амплитуда убывает еще быстрее. Таким образом, в реальных средах векторное произведение  в дальней зоне убывает быстрее, чем 1/r2. Площадь сферы с ростом r возрастает пропорционально r2. Таким образом, предел при :

Таким образом, в случае неограниченного объема V1 лемма Лоренца записывается в следующей форме:

=0    

10.3 Теорема взаимности для двух элементарных излучателей

Пусть в пространстве находятся 2 произвольно ориентированных излучателя. В точке 1 находится ЭЭИ, который характеризуется , . В точке 2 второй излучатель: ,

Обозначим  — напряженность электрического поля, возбуждаемого первым излучателем в месте расположения второго. И соответственно .

Применим лемму Лоренца для неограниченного объема:

=0                        

Интеграл в отличен от нуля только в точках пространства, где отлична от 0, т. е. в пределах объемов, занимаемых излучателями. Поэтому можно переписать следующим образом:

или

,                         где VВ1 и VВ2 объемы, занимаемые первым и вторым излучателями (вибраторами). Ввиду малости излучателей () можно считать, что,

Из данных  выводов следует:

                      

Элементы объема dV можно записать следующим образом 

1:    

2:   

где  и  – площадь поперечного сечения первого и второго излучателей.

Учитывая, что d ЭЭИ << длины можно предполагать, что амплитуда векторов объемной плотности электрического тока в пределах поперечного сечения неизменна. Применим эти условия для соотношения (3).

В силу малости ЭЭИ амплитуду тока можно считать неизменной. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла:

                            

                                    

Теорема взаимности ЭЭИ позволяет определить одну из величин, входящих в уравнение .

Теорема взаимности может быть получена и для ЭМИ. Используя лемму Лоренца и аналогичные преобразования, легко можно получить:

                                  

Используя лемму Лоренца, можно получить выражение для теоремы

Похожие материалы

Информация о работе