Выражение для передаточной функции разомкнутой и замкнутой систем

Страницы работы

16 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Задание

По заданному нулю и пяти полюсам передаточной функции записать выражение для передаточной функции разомкнутой и замкнутой систем. Найти дифференциальное уравнение системы. Нарисовать структурную схему. Найти и построить АЧХ, ФЧХ, АФХ разомкнутой системы. Проанализировать устойчивость работы системы методами Рауса-Гурвица, Михайлова, Найквиста. Построить графики ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой системы. Построить асимптотическую ЛАЧХ. Определить устойчивость работы системы по ЛАЧХ и ЛФЧХ. Если система устойчива, определить запасы устойчивости, в случае неустойчивости дать рекомендации по обеспечению устойчивости.

Исходные данные

k=250;     р0=-0,2;     р1=-0,2;     р2= 0;   р3=0;   р4=-1+j0,8;    р5=-1-j0,8;


1 Нахождение передаточной функции системы.

А) Выражение передаточной функции разомкнутой системы:

Находится числитель передаточной функции:

R(p)=(p-p0)k=250(p+0,2);

Находится знаменатель передаточной функции

G(p)=(p-p1)∙(p-p2)∙(p-p3)∙(p-p4)∙(p-p5)=

(p + 0,2)∙(p+1+j0,8)∙(p+1-j0,8)∙p2= ;

Тогда выражение передаточной функции:

W(ω)==  ;

Б) Выражение передаточной функции замкнутой системы:

Выражение  передаточной функции замкнутой системы находится из формулы:

H(p)=;

В нашем случае:

H(p)=  ;


2 Нахождение дифференциального уравнения системы.

        А) Дифференциальное уравнение разомкнутой системы:

y(p)=H(p)*;

Подставив данные, получим:

;

        Б) Дифференциальное уравнение замкнутой системы:

В дифференциальной форме передаточную функцию системы можно записать в следующем виде:

H(p)=

Где реакция цепи на внешнее воздействие;

 внешнее воздействие;

Тогда:

y(p)=H(p)*;

Подставив данные, получим:

;


3 Структурная схема цепи

Структурная схема цепи строится исходя из передаточной функции разомкнутой системы.

W(p)=  ;

Рисунок 1

Структурная схема цепи


4 АЧХ, ФЧХ, АФХ разомкнутой системы.

Для построения АЧХ необходимо найти модуль передаточной функции разомкнутой системы, заменив р на jω.

Передаточная функция примет вид:

 W(jω)=  ;

Hайдем модуль функции:

 W(jω)=  ;

Построим график:

Рисунок 2

АЧХ разомкнутой системы

АЧХ разомкнутой системы.

ФЧХ системы – это аргумент передаточной функции:

;

;

;

;

Рисунок 3

ФЧХ разомкнутой системы

Амплитудно-фазовая характеристика системы – зависимость мнимой составляющей передаточной функции от действительной составляющей.

Передаточная функция системы:

W(p)=   ;

В области частот:

W()=  ;

Выделяем реальную и мнимую части:

W()=  ;

Умножаем на комплексно-сопряженное выражение:

W()= ;

В итоге получим:

W(jω)= ;

Выделим действительную и мнимую части:

Действительная часть:

Re(W(ω))=  ;

Рисунок 4

Действительная составляющая передаточной функции

Мнимая часть:

lm(W())=  ;

Рисунок 5

Мнимая составляющая передаточной функции

В декартовой системе координат по оси абсцисс принято откладывать действительную часть по оси абсцисс, а мнимую по оси ординат.

Рисунок 6

АФХ системы


5 Весовая и переходная функции разомкнутой системы

Переходная характеристика в операторном виде:

q(p) = ;

q(p) =  ;

Выполнив обратное преобразование Лапласа, получаем переходную характеристику во временной области:

q(t)=  ;

Рисунок 6

Переходная характеристика системы

Весовая функция системы определяется как производная переходной характеристики по времени.

w(t)=;

w(t)=  ;

Рисунок 7

Весовая функция системы


6 Анализ устойчивости работы замкнутой системы

А) по критерию Рауса-Гурвица

Формулировка критерия Рауса: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при а0>0 были положительными с11= а0>0, с12=a1>0, с13>0,..., c1,n+1>0.

Формулировка критерия Гурвица: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения а0, т.е. при а0>0 были положительными.

Характеристическое уравнение для замкнутой системы автоматического управления имеет вид:

;

  ;

  ;

  ;

  ;

  ;

Т.к три определителя матрицы отрицательны система  не устойчива.

Б) Критерий Михайлова

Формулировка критерия: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении частоты ω от 0 до ∞, начинаясь при ω=0 на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно п квадрантов координатной плоскости, где n - порядок характеристического уравнения.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

;

Полагая p=jω, и выделяем у этого уравнения действительную и мнимую части:

  ;

Реальная часть:

  ;

Рисунок 8

График действительной составляющей

Мнимая составляющая:

  ;

Рисунок 9

График мнимой составляющей

Годограф Михайлова:

Рисунок 10

Годограф Михайлова

Видно, что при изменении частоты от 0 до ∞, годограф Михайлова находится только в первой четверти, следовательно, система неустойчива.

В) Анализ устойчивости по критерию Найквиста

Формулировка критерия:       для того чтобы замкнутая система ∞автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при изменении частоты со от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами (-1, j0).

Рисунок 11

АФХ системы

Как видно, АФХ разомкнутой системы при изменение частоты от 0 до ∞ охватывает точку с координатами (-1;j0), а следовательно система не устойчива.


7 ЛAЧXи ЛФЧХ, асимптотическая ЛАЧХ

А) Анализ устойчивости замкнутой системы по ЛАЧХ и ЛФЧХДля того чтобы проанализировать устойчивость системы с помощью логарифмических частотных характеристик необходимо определить частоты среза и резонансные частоты. Если частота среза больше значения резонансной частоты система будет являться неустойчивой.

Построим ЛАЧХ:

Рисунок 12

ЛАЧХ системы

По графику ЛАЧХ на уровне L(w)=0, найдем частоту среза, ωср=4,9.

;

;

;

;

Построим ЛФЧХ:

Рисунок 13

ФЧХ системы

Из графика ЛФЧХ на уровне –π найдем резонансную частоту: ωр=0.

ωр˂ ωср, следовательно система неустойчива.

Б)Асимптотическая ЛАЧХ:

Рисунок 14

Асимптотическая ЛАЧХ системы

Похожие материалы

Информация о работе