Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Совокупность приемов наименования и записи чисел называется счислением.Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью ограниченного алфавита символов, называемых цифрами Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом. Применительно к счислению это - код числа.

Различают:

-  непозиционныесистемы счисления (например, римская), где в любом месте числа каждой цифре соответствует одно и то же  значение;

-  позиционныесистемы счисления, где одна и та же цифра имеет разное значение, которое определяется ее позицией в последовательности цифр, изображающей число. Количество символов S, употребляемое в позиционной системе счисления, называется ее основанием. Позиционной является десятичная (D - decimal) система счисления, для которой S = 10, а для записи используется алфавит из 10 цифр (0,1,2,..., 9).

В позиционной системе счисления каноническая форма представления числа X_sвыглядит следующим образом:

Цифровые вычислительные устройства используют также системы счисления с недесятичным основанием: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Наиболее сжатая получается запись в шестнадцатеричной системе счисления, а наибольшего числа разрядов требует двоичное представление числа. Следует вместе с тем отметить, что ЦВУ (ЭВМ) воспринимает информацию только в виде двоичных кодов.

Наряду с двоичными кодами, которыми оперирует ЦВУ, для ввода и вывода десятичных чисел используют специальное двоично-десятичное кодирование, при котором каждая десятичная цифра заменяется тетрадой двоичных цифр, а сами тетрады записываются последовательно в соответствии с порядком следования десятичных цифр. При обратном преобразовании двоично-десятичного кода в десятичный исходный код разбивается на тетрады вправо и влево от запятой, которые затем заменяются десятичными цифрами.

При двоично-десятичном кодировании фактически не производится перевод числа в новую систему счисления, а используется двоично-кодированная десятичная система счисления.

Пример:десятичное число 95₁₀ = 1001 0101₂.₁₀.

ЦВУ работают с двоичными кодами, пользователю удобнее иметь дело с десятичными или шестнадцатеричными, поэтому возникает необходимость перевода числа из одной системы счисления в другую.

Пример: перевести целое число Х₁₀=56 в двоичную систему счисления.

Х₂=111000

Проверка: Х₁₀=32+16+8+0+0+0=56

Для перевода из двоичной в восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления необходимо в двоичной записи числа произвести разбиение на триады (тетрады), после чего заменить каждую триаду (тетраду) двоичных символов ее эквивалентом в соответствующей системе счисления.В обратных преобразованиях ( и ) следует просто заменить символы в записи числа на их двоичные эквиваленты (см. таблицу):

Преобразования  и  проще производить с промежуточным использованием двоичной записи.

Формы представления цифровой информации.

Бит – одноразрядное двоичное число (1 бит).

Тетрада (нибл, полубайт) – четырехразрядное двоичное число (4 бита).

Байт – восьмиразрядное двоичное число (8 бит).

Слово – шестнадцатиразрядное двоичное число (2 байта, 16 бит) [дополнительно зависит от устройства].

Также используются понятия: двойное слово (2 слова), килобайт (2¹⁰ байт