Нахождение оптимальных параметров и экстремума целевой функции методом линейного

Страницы работы

Содержание работы

3 Нахождение оптимальных параметров и экстремума целевой функции методом линейного

Задание: предприятие должно выпустить два вида продукции, используя последовательно четыре различных группы производственного оборудования. Выпуск одного комплекта продукции вида А обеспечивает прибыль в два миллиона рублей, продукции вида В – в три миллиона рублей. Месячный фонд времени, в днях, каждой группы оборудования и трудоемкость, также в днях, для изготовления комплектов продукции А и В представлены в таблице 2. Разработать план производства, который обеспечит наибольшую прибыль для предприятия.

Таблица 2.

Группа оборудования

Норма времени на выпуск одного комплекта продукции

Фонд времени

А

В

I

3,8

3,8

15,8

II

2,8

5,2

18

III

3,2

0,8

16

IV

1,8

2,8

8,8

Расчёт

Вначале составляется целевая функция (целевая функция – прибыль):

y=2x1+3x2, где x1 – количество комплектов продукции вида А,

x2 – количество комплектов продукции вида B.

Уравнения ограничений:

3,8x1+3,8x2 ≤15,8

2,8x1+2,8x2 ≤18

3,2x1+3,2x2 ≤16

1,8x1+2,8x2 ≤8,8

Здесь x1≥0, x2≥0.

Строятся линии ограничений по уравнениям ограничений (таблица 3).

Таблица 3

Номер уравнения ограничений

Первое решение

Второе решение

x1

x2

x1

x2

1

0

4,2

4,2

0

2

0

6,4

6,4

0

3

0

5

5

0

4

0

3,1

4,8

0

Определяется область ограничений (рисунок 5).

Рисунок 5 - Линии ограничений

Точки А и В ограничивают область возможных значений целевой функции. Для нахождения максимального значения целевой функции находятся ее значения в точках А (0; 3,1), В (4,2; 0) и С (4,1; 0,6).

yA=2×0+3×3,1=9,3 млн.руб.

yВ=2×4,2+3×0=8,4 млн.руб.

yС=2×4,1+3×0,6=6 млн. руб.

Т.о. наибольшего значения целевая функция прибыли достигает в точке А при значениях параметров x1=0, x2=3,1.

Так как количество комплектов оборудования не может быть выражено дробным числом, то нужно округлить значения x1 и x2 до целых чисел, а затем выполнить проверку.


Округляется значение параметра x2:

1) Пусть x1=0, x2≈4, тогда

3,8×0+3,8×4=15,2<15,8 – верно;

2,8×0+2,8×4=11,2<18 – верно;

3,2×0+3,2×4=12,8<16 – верно;

1,8×0+2,8×4=11,2>8,8 – неверно.

Одно из ограничений не выполняется, поэтому значение параметра x2 нужно округлять до меньшего целого.

2) Пусть x1=0, x2≈3, тогда:

   3,8×0+3,8×3=11,4<15,8 – верно;

2,8×0+2,8×3=8,4<18 – верно;

3,2×0+3,2×3=9,6<16 – верно;

1,8×0+2,8×3=8,4<8,8 – верно.

Все ограничения выполняются.

Округляется значение параметра x1:

1) Пусть x1≈4, x2=0, тогда:

   3,8×4+3,8×0=15,2<15,8 – верно;

2,8×4+2,8×0=11,2<18 – верно;

3,2×4+3,2×0=12,8<16 – верно;

1,8×4+2,8×0=7,2<8,8 – верно.

Все ограничения выполняются.

Целевая функция при этом принимает значение

yA=2×0+3×3=9 млн.руб.;

yВ=2×4+3×0=8 млн.руб.

Следовательно, при округлении до меньшего целого значения параметра x2, либо параметра x1 значения целевой функции в точках А и В оказались разными.

Таким образом, в соответствии с расчётами план производства, который обеспечит предприятию наибольшую прибыль – это выпуск четырех комплектов продукции вида В или трех комплектов продукции вида А в зависимости от спроса. При этом прибыль предприятия составит 9 млн. руб. или 8 млн. руб. соответственно.

Похожие материалы

Информация о работе