Аналитическая геометрия. Методическое пособие для студентов физико-математического факультета, страница 22

                                                                                                                    

                                         m                                                                         

                                                                                    

А                                                                                          О          у=0    х

Рис. 3.5                                                             Рис. 3.6                                                                                                                                                                                         Мы считаем здесь, что ; если а=0, по условию теоремы будет  и можно взять точку В.

Пусть m – прямая, проходящая через точку А перпендикулярно вектору . Ее уравнение можно найти по точке А и нормальному вектору : , откуда после упрощений .

Таким образом, уравнение линии  и уравнение прямой m совпадают.  Тем самым доказано,  что  есть прямая и что вектор  - ее нормальный вектор.

Так как , то  и следовательно,  - направляющий вектор прямой . Теорема доказана.

Частные случаи общего уравнения прямой.

Если некоторые из коэффициентов уравнения (3.2.1) обращаются в нуль, то уравнение будет неполным, а в расположении прямой относительно координатных осей будут некоторые особенности.

1). При с=0 прямая имеет уравнение . Эта прямая проходит через начало координат.

2). При а=0 уравнение прямой имеет вид . Прямая параллельна оси абсцисс.

3). При в=0 уравнение прямой имеет вид . Прямая параллельна оси ординат.

4). При а=с=0 получаем у=0. Это – ось абсцисс.

5). При в=с=о получаем х=0. Это – ось ординат.

Все эти случаи показаны на рис. 3.6.

Пример. Найдите уравнения биссектрис углов между прямыми  и m: .

Решение. а) находим точку А пересечения данных прямых. Для этого решаем систему уравнений . В результате получаем А(2, ).

б) Теперь найдем направляющие векторы биссектрис. По доказанной выше теореме векторы  и  являются направляющими векторами данных прямых, см. рис. 3.7. Сравнивая длины этих векторов (), видим, что длина вектора  в 2 раза больше длины вектора : .

При сложении векторов по правилу параллелограмма, этот параллелограмм превращается в ромб, если слагаемые  векторы имеют равные длины.

                      Р₂                                                                          

                                                   m                  

                                                                                                       

                                                      Р₁                                                      α

            А                                                                                                                                                  

Рис. 3.7                                                               

Рис. 3.8

А так же диагональ ромба делит его углы пополам, то сумма таких векторов направлена по биссектрисе угла между слагаемыми векторами.

Поэтому направляющие векторы  и  биссектрис Р₁ и Р₂ таковы: .

в) Уравнения биссектрис находим по точке и направляющему вектору. Имеем: . После упрощений получаем окончательно:

§ 3.3. Углы между прямыми. Параллельность и перпендикулярность

Две прямые  и , пересекаясь, образуют четыре угла, различными из которых могут быть только два смежных: на рис. 3.8 они обозначены  и . Одни из этих углов равен углу между нормальными векторами   и  этих прямых. В обозначениях того же рисунка , так как .

Задача. Найти угол между прямыми  и .

Решение. Определяем угол  как угол между векторами  и  по формуле (2.7.10): . Далее по формулам привидения находим косинус второго угла : .

Окончательно. Введя для углов между прямыми общее обозначение φ, имеем:

                  (3.3.1)

Задача решена. Из полученной формулы можно вывести условия параллельности и перпендикулярности прямых, но предпочтительней независимый вывод этих условий: ,