Кольцо многочленов над полем действительных чисел

Страницы работы

2 страницы (Word-файл)

Содержание работы

3. Кольцо многочленов над полем действительных чисел.

- называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы

1)  - коммутативная группа

2)   - ассоциативно  ()(a(bc)=(ab)c)

3)  Два дистрибутивных закона ()((a+b)*c=ac+bc)(c(a+b)=ca+cb)

4)  Если  - коммутативно, то - коммутативное кольцом ()(ab=ba)

Если в кольце есть нейтральный элемент по  ,то кольцо называется кольцом с единицей.

Элементы a и b отличные от нуля, а a*b=0, то a,b-делители нуля.Если в кольце такие элементы, то кольцо с делителями нуля.

Многочленом называется рациональная функция вида: f(x)= a0+a1x+a2x2+…+anxn , n –целое неотриц, a0,a1,a2,…,anR. Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях (функциональное равенство)      f(x) = g(x) ó ak=bk   k=

- кольцо

Многочленом над произвольным кольцом К назовем символ вида f(x)= a0+a1x+a2x2+…+anxn , n –целое неотриц, a0,a1,a2,…,anК. Два многочлена равны, если коэффициенты с одинаковыми индексами равны(алгебраическое определение) f(x) = g(x) ó ak=bk. Нет функционального равенства, которое тождественно нашему равеству.

К=. f(x)= x, g(x) = x2. f(x) g(x) как многочлены, а как функции они равны.

f()=*=           g()=**=

f()=*=           g()=**=

алгебраическое равенство не тождественно функциональному.

f(x) + g(x) = (a0+b0)+ (a1+b1)+ (a2+b2)x2+…+ (ap+bp)xp

f(x)*g(x)=h(x),где h(x)= c0+c1x+c2x+…+cm+nxm+n, ck-=a0bk+a1bk-1+a2bk-2+…+akb0, k=

k[x] – множество многочленов над кольцом k; k[x]={ a0+a1x+a2x2+…+anxn }

Теорема: k[x], относительно введенной операции + и * образует кольцо.

1.  <k[x],+> - абелева группа

1)  Коммутативность

f(x) + g(x) = (a0+b0)+ (a1+b1)х+ (a2+b2)x2+…+ (ap+bp)xp

g(x)+f(x) = (b0+ a0)+ (b1 + a1)х+ (b2+ a2)x2+…+ (bp+ ap)xp

p=max{m,n}; ak+bk= bk+ ak  ,т.к. ak,bk - кольцо

2)  Ассоциативность

(f(x) + g(x))+h(x)= f(x) +( g(x)+h(x)); p=max{(m,n),r} =  p=max{m,(n,r)}; (ak+bk)+ck= ak+( bk+ck), т.к. ak,bk, ck - кольцо

3)  Нулевой элемент   0 = 0+0*x+0*x2+…+0*xn; f(x)+0=f(x)

4)  Противоположный элемент    -f(x)=- a0+(-a1)х+…+(-an )xn; f(x)+(-f(x))=0

<k[x],+> - абелева группа

2.  Дистрибутивность

(f(x) + g(x))+h(x)= f(x)h(x) + g(x)h(x); (f(x) + g(x))+h(x)= d0+d1x+…+dsxs, где dk = (a0+b0)ck+ (a1+b1)ck-1+…+ (ak+bk)c0 = (a0ck+a1ck-1+…+ akc0)+( b0ck+ b1ck-1+…+ bkc0)=dk+ dk’’

dk – произведение f(x)h(x), dk’’- произведение g(x)h(x);=> л.ч =п.ч, т.к. коэффициенты с одним индексом равны

3.  Ассоциативность

ð  - кольцо

Теорема: если кольцо К – область целостности, то - область целостности

1.  Единица: f(x) = a0, КК[x], 1К, единица в кольце многочленов по правилу «*» 1. g(x)*1= g(x).

2.  Коммутативность : f(x)g(x) = сумме произведения всех одночленов u  f(x)  и v  g(x). Докажем, что uv=vu; akxkbsxs= akbsxs+k; bsxsakxk= bsakxs+k; akbs=bsak (т.к. К – область целостности). Раз верно для всех одночленов => верно и для многочленов f(x)g(x) = g(x) f(x)

3.  Ассоциативность: аналогично 2.

4. Нет делителей нуля: f(x)= a0+a1x+a2x2+…+anxn и g(x) = b0+b1х+…+ bmxm; f(x) g(x)= a0 b0+( a0 b1+ a1b0)x+…+anbm xn+m; ст f(x)=n=> an0 и ст g(x) = m=> bm0; => anbm0; f(x) g(x) 0=> нет делителей 0.

=> - область целостности

Теорема: Для произвольного многочлена f(x) с коэффициентами из кольца К и имеет место следующее равенство (f(x) = (х- х0)*g(x) + с)( f(x)  К[x], ), где g(x)  К[x],сК, причем с = f(x0) и равенство (f(x) = (х- х0)*g(x) + с)(1) однозначно.

Док-во: 1.Если ст f(x)= 0, то f(x)=аК; тогда  g(x)=0 ,с=а , а=0(х- х0)+а

2. ст f(x)=n>0; ст f(x)= ст g(x)+ ст(х- х0); n = ст g(x)+1, ст g(x)= n-1.

Докажем методом неопределенных коэффициентов.

f(x)= a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+ an, g(x) = b0xn-1+b1xn-2+…+ bn-2x+bn-1,подставим в равенство (1) и получим  a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+ an=(х- х0)( b0xn-1+b1xn-2+…+ bn-2x+bn-1)+c. Получим систему, которая имеет единственное решение

b0= a0

b1= a1+x0b0

b2=a2+x0b1

…………..

bn-1=an-1+x0bn-2

c=an+x0bn-1

f(x0)= g(x0) (х0- х0)+c;c=f(x0).

Элемент x0К называется корнем многочлена f(x), если f(x0)=0

Теореме Безу: Для того, чтобы х0 было корнем многочлена f(x) необходимо и достататочно, чтобы f(x) делился нацело на (х- х0) без остатка.

f(x0) =0 ó f(x) = (х- х0)*g(x)

=>Н f(x) = (х- х0)*g(x)+с, где с = f(x0).Т.к f(x0) =0 (х0 - корень), то с = 0; f(x) = (х- х0)*g(x)

<=Д f(x) = (х- х0)*g(x) => с = 0; с = f(x0) =0 => х0 – корень

Пример: Показать, что - корень f(x)

f(x)= x5+x4+x3+x2+x+. Разделим на (х-)

f()= 0 => х0 =  - корень многочлена f(x)

g(x)= x4+x3+x+

Теорема о верхней границе кол-ва корней: Кол-во различных корней многочлена не превосходит  степени многочлена.

Б.И. f(x)=aК, ст f(x)=0, корней нет => теорема верна.

Ш.И.  Теорема верна для всех многочленов степени(n-1) . Докажем, что она верна и для многочленов степени n. Доказательство проведем методом от противного. Пусть ст f(x)= n и m различных корней f(x)    х12,…,хm, тогда m>n.Тогда по теореме Безу f(x)=(x-x1)g(x)  (2) и  х2,…,хm – корни многочлена g(x).Подставим хi в (2), f(xi)=(xi-x1)g(xi), 0= (xi-x1)g(xi), нет делителей 0=> g(xi)=0.    ст g(x)=n-1 и имеет место m-1 корней; m>n; m-1>n-1; Получили противоречие.

Похожие материалы

Информация о работе