Уметь проводить доказательство монотонности степенной функции, заданной формулой с натуральным показателем при - аналитически давать графическую иллюстрацию:
Дано:
Доказать: f – возрастающая.
Доказательство:
f – возрастающая, если:
, то есть: ,
Аналогичные требования предъявляются к усвоению учащимися свойств корней n-й степени и арифметического корня. Так, из тождества при учащиеся уметь выводить следующие свойства корня n-й степени:
1)
2)
3)
Уметь доказывать аналитически и проводить графическую иллюстрацию следующего свойства корня n-й степени:
- Значения корня при возрастают с возрастанием значений x.
Дано: ,
Доказать:
Доказательство:
1) - по определению арифметического корня.
2) , так как из
Итак: .
Надо подчеркнуть, что доказательство данного свойства корня n-й степени есть суть доказательства монотонности функции, заданной формулой при .
Теперь прежде чем перейти к определению степени с рациональным показателем, следует ввести понятие показательной функции с областью определения Z.
Учащимся необходимо предложить построить графики нескольких функций, заданных формулой вида: , где x и y – переменные и , при различных значениях , кроме =0. Надо также рассмотреть случаи: а<0, 0<a<1, a=1, a>1. В начале нужно составить таблицы значений переменных x и y, вычисленных по формуле (листки с таблицей можно составить заранее):
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x |
y |
-3 |
-0,125 |
-3 |
8 |
-3 |
1 |
-3 |
0,125 |
-2 |
0,25 |
-2 |
4 |
-2 |
1 |
-2 |
0,25 |
-1 |
-0,5 |
-1 |
2 |
-1 |
1 |
-1 |
0,5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
-2 |
1 |
0,5 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
4 |
2 |
0,25 |
2 |
1 |
2 |
4 |
3 |
-8 |
3 |
0,125 |
3 |
1 |
3 |
8 |
1. График функции : 2. График функции :
3. График функции : 4. График функции :
На основе анализа соответствующих таблиц и графиков учащихся нужно подвести к предположению, что справедливы следующие свойства функций:
1) При a>0 функция, заданная формулой , где , принимает положительные значения.
2) При a>1 функция, заданная формулой , где , возрастает; при 0<a<1 – убывает.
Затем провести доказательство этих свойств, опираясь на свойства степени с целым показателем. При ведении записи доказательства учащиеся должны приводить использованное свойство степени с целым показателем или его существенные признаки, а не указывать только его порядковый номер. Например, запись доказательства второго свойства при a>1 можно сформировать так:
Дано:
Доказать: f – возрастающая.
Доказательство:
1. и .
2. f – возрастающая, если для любых значений аргумента из , то есть из .
3. , так как при и .
4.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.