Оптимальные стратегии для игроков. Решение графических игр заданными платежными матрицами

Страницы работы

Содержание работы

стратегия В6 не строго доминирует стратегию В1 и они обе строго доминируются каждой из стратегий В2 и В3. Поэтому стратегии В1 и В6 игрока В являются заведомо невыигрышными и их нужно отбросить. Это обстоятельство на рисунке проявляется в том, что отрезки а11а21 и а16а26, определяемые соответственно стратегиями В1 и В6, в конструировании нижней огибающей всех отрезков не участвуют.

8. Нижняя огибающая отрезков а1425.

9. Максимальная точка нижней огибающей N.

10. Абсцисса Р0 этой точки N является вероятностью выбора игроком А чистой стратегии А2 в оптимальной смешанной стратегии Р0 = (1 – Р0, Р0), где Р0 находится по формуле:

, следовательно, является оптимальной смешанной стратегией, придерживаясь которой, игрок А случайным образом выбирает свои чистые стратегии А1 и А2 соответственно с вероятностями .

11. Ордината наивысшей точки нижней огибающей является ценой игры , где `g находится по формуле

.

12. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях, т.е. a = а25 = 1.

13. Нижний из верхних концов отрезков а1ja2j, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 есть верхняя цена игры в чистых стратегиях, т.е. b = а23 = 2.

14. Так как нижняя огибающая не имеет максимальных точек, лежащих на перпендикулярах к отрезку [0, 1] всего конца, то у данной игры нет седловых точек. На рисунке 18 через максимальную точку N нижней огибающей отрезков а1ja2j, j = 1, …, 6 проходят два отрезка а13а23 и а15а25. Поскольку они имеют разные наклоны, то при j1 = 3 и  j2 = 5 будем иметь

,

.

Таким образом, смешанная стратегия  игрока В является оптимальной.

Рис. 18

Пример 21. Решить графически игры заданными платежными матрицами


1).

А =

        Вj

Аi

В1

В2

В3

В4

А1

4

2

7

3

А2

1

6

-2

3,5

2).

А =

          Вj

Аi

В1

В2

В3

А1

2

-1

5

А2

2

4

1

3).

А =

          Вj

Аi

В1

В2

В3

А1

3

6

2

А2

5

4

2

5).

А =

          Вj

Аi

В1

В2

В3

А1

1

-1

4

А2

3

-3

-1

 

4).

А =

          Вj

Аi

В1

В2

В3

А1

-1

3

-2

А2

4

1

-1


Решение.1.Посмотрим геометрическое изображение данной игры на рис. 19. Нижняя огибающая отрезков а1ja2j, j = 1, 2, 3, 4 выделяется жирной линией. Ее  максимальная точка N. Видно, что через точку N проходят три отрезка а12а22, а11а21 и а14а24.Для определения абсциссы Р0 точки N мы можем взять любые два отрезка из указанных трех. Возьмем, например, отрезки а12а22 и а14а24. Тогда при j1 = 2 и  j2 = 4 получим:

Тогда .

Находим цену игры по формуле

.

Нетрудно убедиться в том, что мы получим тот же результат, если для вычисления Р0 и `g используем отрезки а12а22 и а11а21 или а11а24 и а14а24. Верхней точкой из двух нижних а12 = 2 и а23 = –2 на перпендикулярах является точка а12 = 2; поэтому нижняя цена игры в чистых стратегиях  a = а12 = 1.

Нижней точкой среди верхних концов а13 = 7, а11 = 4, а24 = 3,5, а22 = 6 соответственно отрезков а13а23, а11а21, а14а24, а12а22 является точка а24 = 3,5;

поэтому верхняя цена игры в  чистых стратегиях b = а24 = 3,5.

Таким образом, a = 2 <`g = 3,14 < b = 3,5. Седловой точки в игре нет.

Рис. 19

На рис. 19 через максимальную точку N нижней огибающей отрезков а1ja2j, j = 1, 2, 3, 4 проходят три отрезка: а12а22 и а14а24 положительных наклонов и а11а21 отрицательного наклона. Определим оптимальную стратегию игрока В, используя сначала пару отрезков а12а22 и а11а21 разных наклонов, при j1 = 2 и j2 = 1 находим  по формуле

,

Тогда .

Таким образом, одной из оптимальных стратегий игрока В будет смешанная стратегия , в которой он чистую стратегию В1 выбирает с вероятностью , стратегию В2 – с вероятностью , а стратегии В3 и В4 являются пассивными. Теперь найдем оптимальную стратегию, используя отрезки а14а24 и а11а21. При j1 = 4 и j2 = 1 находим  по формуле ,

Тогда .

Таким образом, другой оптимальной стратегией игрока В является смешанная стратегия ,

2. Посмотрим геометрическое изображение данной игры на рис. 20.

Рис. 20

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Программы для учёбы
Размер файла:
3 Mb
Скачали:
0