Исследование плоского напряженного состояния точки. Определение напряжений и деформаций в заданном направлении

Содержание

1. Введение. 3

1.1. Определения. 3

1.2. Правило знаков. 3

1.3. Гипотезы прочности. 4

1.3.1. III гипотеза. 4

1.3.2. IV гипотеза. 4

1.4. Осевое (центральное) растяжение (сжатие) 5

2. Исследование плоского напряженного состояния с точке. Определние напряжений и деформаций в заданном направлении. 6

2.1. Площадка. 6

2.1.1. Определение знаков напряжений. 6

2.1.2. Определение величины и направления главных напряжений. 6

2.1.3. Определим угол между главной площадкой и исходной. 8

2.1.4. Определение максимальных касательных напряжений. 8

2.1.5. Определение нормальных и касательных напряжений на площадке, повернутой относительно заданной на угол ............ 10

2.1.6. Определение полного напряжения на наклонной площадке и относительной деформации в направлении напряжения . 11

2.1.7. Определение сопротивления. 11

2.1.8. Определение относительных деформаций по направлению главных напряжений. 11

3. Расчет на прочность и жесткость при осевом растяжении (сжатии) 12

3.1. Построение эпюры внутренних усилий. 12

3.1.1. I грузовой участок. 12

3.1.2. II грузовой участок. 12

3.1.3. III грузовой участок. 13

3.2. Построение эпюры напряжений. 13

3.3. Определение площади поперечного сечения. 14

3.4. Построение эпюры деформаций. 14

3.5. Определение перемещений на учасках. 15

3.6. Учет собственного веса колонны. 17

3.7. Построение эпюр с учетом собственного веса. 18

3.7.1. I грузовой участок. 18

3.7.2. II грузовой участок. 18

3.7.3. III грузовой участок. 18

3.8. Построение эпюры напряжений. 18

3.9. Определение перемещений на учасках с учетом собтвенного веса. 19

4. Расчет статически неопределимой системы при осевом растяжении – сжатии с учетом температурного воздействия и неточности изготовления элементов. 21

4.1. Статическая сторона задачи. 21

4.2. Геометрическая сторона задачи. 22

4.3. Физическая сторона задачи. 22

4.4. Построение эпюр. 24

4.4.1. Нахождение продольных сил. 24

4.4.2. Нахождение напряжений. 24

4.4.3. Нахождение перемещений. 24

  1.  Введение.

1.1.  Определения.

Главные напряжения – это напряжения на главных площадках.

Главные площадки - это площадки, на которых касательные напряжения обращаются в  это площадки, на которых касательные напряжения обращаются в НОЛЬ, а нормальные приминают экстремальные значения.

Площадка сдвига – это площадка, на которой касательные напряжения принимают экстремальные значения.

Площадка чистого сдвига – это площадка, на которой касательные напряжения принимают экстримальные значения, а нормальные отсутствуют.

Угол между главной  площадкой и площадкой сдвига  составляет 45^о.

Угол      между исходной и главной площадкой определяется с помощью формулы:                             

1.2.  Правило знаков.

Угол между исходной площадкой и главной находится в интервале

Правило знаков для нормальных напряжений:

« + » - при растяжении,

« - » - при сжатии,

Правило знаков для касательных напряжений:

« + » - по ходу часовой стрелке,

« - » - против хода часовой стрелки.

Напряженное состояние

         Линейное                         Плоское         Объемное (пространственное)

  ( ОДНО из главных напря –       ( ДВА главных напря –             ( все ТРИ главных

      жений отлично от 0)               жения отличны от 0)        напряжения отличны от 0)

Формула для нахождения Главных напряжений:

Формула для нахождения Касательных напряжений:

1.3.  Гипотезы прочности.

1.3.1.  III гипотеза.

1.3.2.  IV гипотеза.

1.4.  Осевое (центральное) растяжение (сжатие)

Его относят к простым видам сопротивления. Название этого вида деформаций обусловленно тем, что линия действия сил, приложенных к стержню, совпадает с осью стержня (ось стержня проходит через центры тяжести).

При осевом растяжении (сжатии) в силу принятых гипотез

Поэтому напряженое состояние в элементе объема – ЛИНЕЙНОЕ

Нормальное напряжение в поперечном сечении при данном виде деформаций является функцией от продольного внутренненго усилия N_x и зависит от геометрической характиристики поперечного сечения – площади А

Для расчета на прочность пользуются условием прочности, которое при данно виде сопротивления имеет вид:

  2.  Исследование плоского напряженного состояния с точке. Определние напряжений и деформаций в заданном направлении.

2.1.  Площадка

                                                                

2.1.1.  Определение знаков напряжений.

             Отрицательные (сжатие);

      (по ходу часовой стрелке)

(против хода часовой стрелке)

2.1.2.  Определение величины и направления главных напряжений.

Выполним проверку, изпользуя первый инвариант напряжений

Присвоим индексы главным напряжениям, опираясь на зависимость

Судя по количеству главных напряжений отличных от нуля это линейное напряженное состояние.

2.1.3.  Определим угол между главной площадкой и исходной.

Т. к. угол  положительный, значит, поворот площадки при переходе от исходной к главной площадке осуществляется против хода часовой стрелке.

При выполнении чертежа необходимо выполнить следующее: максимальное главное напряжение должно быть ближе к алгебраически наибольшему из исходных напряжений, а также располагаться в той четверти, где сходятся исходные напряжение. Минимальное главное напряжение должно быть ближе к алгебраически наименьшему из исходных напряжений.

2.1.4.  Определение максимальных касательных напряжений.

Нормальные напряжения на этой площадке.

Выполним проверку:                      

 

Следует учесть, что максимальные и минимальные касательные напряжения сходятся у

2.1.5.  Определение нормальных и касательных напряжений на площадке, повернутой относительно заданной на угол

2.1.6.  Определение полного напряжения на наклонной площадке и относительной деформации в направлении напряжения .

2.1.7.  Определение сопротивления.

2.1.8.  Определение относительных деформаций по направлению главных напряжений.

Знак « + » говорит о растяжении и увеличении размеров, « - » - наоборот.

  3.  Расчет на прочность и жесткость при осевом растяжении (сжатии)

 

3.1.  Построение эпюры внутренних усилий.

3.1.1.  I грузовой участок.

3.1.2.  II грузовой участок.

 - линейное уравнение.

В пределах этого грузового учаска внутреннее усилие меняет знак, найдем расстояние до сечения, в котором N=0  (кН)

3.1.3.  III грузовой участок.

3.2.  Построение эпюры напряжений.

Зная, что при центральном сжатии (растяжении)  и учитывая заданное соотношение между площадями на грузовых участках выполним неоходимые вычисления.

С помощью эпюры напряжений найдем опасные сечения. Будет 2 опасных сечения ()

Опасное сечение в растянутой зоне:

Опасное сечение в сжатой зоне:

3.3.  Определение площади поперечного сечения.

С целью нахождения площади поперечного сечения запишем уравнение прочности.

Условие прочности на растяжение:  

Условие прочности на сжатие:

Сравнив обе найденные площади принимаем к последующему расчету наибольшую, найденную из условия прочности на разтяжение