Магнитное поле. Основные теоретические положения, страница 8

3)   0 £ x £ a,     = -m_a·d₂,      А₃ = -d₂·х² + С₅·х + С₆,

4)   x > a,           = 0,             А₄ = С₇·х + С₈.

3. Полученных уравнений недостаточно для определения постоянных интегрирования С₁÷С₈, поэтому получим формулы для напряженности магнитного поля. Векторный потенциал с напряжённостью связан следующим образом:  rot =  = m_a·.

Но согласно табл. 11.1

rot === -.

Тогда    = -  и   H = -.

Таким образом,

H₁ = -;      H₂ = d₁·х –;      H₃ = d₂·х –;      H₄ = -.

4. Составим и решим уравнения для нахождения постоянных интегрирования.

При   x = -a   в соответствии с законом полного тока   (H_-а·2·50а = -I  – знак «минус», так как с левой стороны шины напряжённость направлена против оси у):      H₁(x = -a) = -I/(100a) = -,

откуда    С₁ === 6,283·10^-4.

При   x = -a   в соответствии с граничным условием   H_1t = H_2t

H₁(x = -а) = H₂(x = -а)   или    -С₁/m₀ = d₁·(-а) – С₃/(mm₀);   откуда

С₃ = d₁·(-а)·mm₀ + С₁·m = -375000·0,002·6·4p ·10^-7 + 6,283·10^-4·6 = -1,885·10^-3.

При   x = 0   H₂(x= 0) = H₃(x= 0)   или    С₃ = С₅.

При   x = a   H₃(x = а) = H₄(x = а)   или   d₂·а – С₅/(mm₀) = -С₇/m₀;  откуда

С₇ = -d₂·а·m₀ + С₅/m  = -125000·0,002·4p ·10^-7 + (-1,885·10^-3)/6 = -6,283·10^-4.

Примем, что при   x = 0   А₂(x = 0) = А₃(x = 0) = 0, тогда  С₄ = С₆ = 0.

При   x = -a    А₁(x = -а) = А₂(x = -а)  или

С₁·(-а) + С₂ = -½m_аd₁·(-а)² + С₃·(-а) + С₄,    откуда

С₂ = -½m_аd₁·(-а)² + С₃·(-а) + С₄ – С₁·(-а) = -½·6·4p ·10^-7·375000·0,002² +

+ 1,885·10^-3·0,002 + 0 + 6,283·10^-4·0,002 = -6,283·10 ^-7.

При   x = a  А₃(x = а) = А₄(x = а)   или    -½m_аd₂·а² + С₅·а + С₆ = С₇·а + С₈, откуда   С₈ = -½m_аd₂·а² + С₅·а + С₆ – С₇·а = -½·6·4p ·10^-7·125000·0,002² –

– 1,885·10^-3·0,002 + 0 + 6,283·10^-4·0,002 = -4,398·10 ^-6.

5. Окончательно получаем:

А(х) =,

Н(х) = .

По этим формулам построены графики А(х) и Н(х), которые представлены на рис. 14.25.

6. Для определения магнитного потока, замыкающегося по левой половине шины на единицу длины, применим формулу  Ф =. В качестве контура интегрирования возьмём прямоугольник 0-1-2-3-0 длиной 1м (рис. 14.24,б). Причём вдоль сторон 0-1 и 2-3 интеграл равен нулю, так как  на этих участках угол между  и  составляет 90° (вектор  направлен по оси z, а вектор  – параллельно оси x). Вдоль стороны 3-0 значение А равно нулю. Таким образом,

Ф == А(х = -а)·1м = -1,885·10^-6 Вб.

Знак «минус» в ответе для магнитного потока означает, что магнитный поток направлен против поло-жительной нормали к контуру2), то есть снизу вверх.

ЗАДАЧА 14.22. Постоянный ток  I = 350 А замыкается по металли-ческой цилиндрической шине радиусом    а = 20 см  (рис. 14.26). Шина изго-товлена из материала с относительной магнитной проницаемостью   m = 4   и   находится в воздухе. Построить графики зависимости векторного магнитного потенциала и напряжённости магнитного поля в функции координат.

Решение

Порядок действий тот же, что и при решении задачи 14.21.

1. Плотность тока в шине    d = I/(pа²) = 2785 А/м². 

2. Векторный магнитный потенциал имеет только одну составляющую, направленную параллельно оси z, и зависит только от координаты r. При этих условиях уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат принимает вид:      Ñ ²А ==

Его решение    А₁ = - ¼mm₀d r² + С₁ln(r) + C₂,      А₂ = С₃ln(r) + C₄.

Чтобы при   r = 0   А₁   не принимало бесконечных значений, слагаемое С₁ln(r)  должно отсутствовать, то есть С₁ = 0.  Кроме того, пусть   А₁ = 0   при r = 0,  тогда   C₂ = 0   и  А₁ = - ¼mm₀dr ².

3. Напряжённость магнитного поля      = rot/m_a = -.

Таким образом,      Н₁ = ½dr –= ½dr;     Н₂ = -.

4. При  r = а    Н₁ = Н₂,  откуда   С₃ = - ½m₀dа² = -7·10^-5,

А₁ = А₂,   откуда   С₄ = - ¼mm₀dа² – С₃ln(а) = -25,26·10^-5.

5. Окончательно получаем

А(r) =

Н(r) = 

Построенные по этим формулам графики А(r) и Н(r) представлены на рис. 14.27.