Операторный метод расчёта ПП. Основные теоретические положения

Страницы работы

Содержание работы

7.2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПП

7.2.1. Основные теоретические положения

Сущность операторного метода заключается в том, что от некоторой функции вещественного переменного (например, времени t), называемой оригиналом f(t), переходят к функции комплексного переменного f(р), называемой изображением. При этом дифуравнения относительно оригиналов превращаются в алгебраические уравнения относительно изображений, решение которых проще.

Изображение и оригинал функции связывают формулой прямого преобразования Лапласа    f(р) =.

В справочной литературе имеются таблицы оригиналов и соответствующих им изображений. Изображения наиболее характерных оригиналов приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Оригинал функции

Изображение по Лапласу

U0,   Jk,   uC(0)

,    ,   

U0·e ±at,    1 – 1·e -at

,    

t,   tn,    t·e -at

,   ,  

e j(wt +y)

sin(wt +y)

Im=

cos(wt +y)

Re=

Теорема дифференцирования,  f ¢(t)

pf(р) f(0)

Теорема интегрирования   

Закон Ома для последовательного участка R-L-C:

I(р) =, где  Z(р) = R + pL +  – операторное сопротивление этого участка.

В числителе кроме изображения напряжения на зажимах участка U(р) фигурируют внутренние операторные ЭДС  LiL(0)  и  , учитывающие независимые начальные условия.

Iзакон Кирхгофа:  для любого узла   S±I(р) = 0.

IIзакон Кирхгофа:  для любого контура

=.

Поскольку законы Ома и Кирхгофа в операторной форме имеют такой же вид, как и в цепях постоянного тока (ЦПТ), то все методы анализа ЦПТ, основанные на этих законах, могут быть применены для анализа операторных схем с учётом независимых начальных условий.

По изображениям искомых величин, полученным в результате анализа операторной схемы, находят оригиналы искомых величин. Для этого применяют обратное преобразование Лапласа или используют таблицу преобразований Лапласа, или пользуются теоремой разложения.  В последнем случае изображение искомой величины приводят к виду:

f(р) =  или   , гдеf1(р) и  f2(р) – степенные многочлены:

f1(р) = bm pm + bm-1 pm-1 + … + b1 p + b0,     f2(р) = an pn + an-1 pn-1 + … + a1 p + a0, причём  m £ n  и дробь несократима (числитель и знаменатель не имеют одинаковых корней). Оригинал определяется по формулам:

® f(t) =  или  ® f(t) =+, где  pk– корни уравнения    f2(р) = 0,  а  n – число корней этого уравнения,

f1k) и f2¢k) – значения многочлена f1(р) и производной от многочлена f2(р) при k-м корне.

В случае пары комплексных сопряжённых корней можно использовать следующие формулы:     ®    f(t) = 2Re

или    ®   f(t) =+ 2Re.

Рекомендуемая последовательность расчёта ПП операторным методом.

1. Расчётом цепи до коммутации определяют независимые начальные условия  iL(0), uC(0)  и записывают величины внутренних операторных ЭДС LiL(0) и  .

2. Для цепи после коммутации составляется эквивалентная операторная схема.

3. Любым методом анализа ЦПТ определяют изображения требуемых токов и напряжений, приводя затем их к виду рациональной дроби.

4. По теореме разложения или с помощью обратных преобразований Лапласа находят оригиналы искомых токов и напряжений переходного процесса.

7.2.2. ПП в цепях с одним накопителем

ЗАДАЧА 7.45. Напряжение, приложен-ное к цепи рис. 7.68,а изменяется по закону

u(t) = 30t2 + 18t + 10 В.

Параметры цепи:  r1 = r2 =

= 100 ОмС = 10 мкФ.

Рассчитать ток конденсатора.

Решение

До появления напряжения на источнике цепь находилась в состоянии покоя. Поэтому данная задача – с нулевыми начальными условиями, а эквивалентная операторная схема выглядит так, как на рис. 7.68,б.

Изображение приложенного напряжения определяем, используя таблицу преобразований Лапласа:  U(p) =++.

Изображения первого и третьего токов:   I1(p) =;  

I3(p) ==×==

=++.

Разложим последнее выражение на простые дроби:

I3(p) =++.

Приведя в выражениях для I3(p) дроби к общему знаменателю и приравняв числители, получим следующее уравнение:

Ар(рr1r2C + r1 + r2) + Br1r2C + r1 + r2) + Dp2 = 60r2C + р×18r2C + р2×10r2C.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях р и получаем систему уравнений:

коэффициенты при   p2 :     АСr1r2 + D = 10r2C;

при   p :     А(r1 + r2) + ВСr1r2 = 18r2C;

при   1 :     В(r1 + r2) = 60r2C.

Отсюда   В === 3×10 –4;

А === 9×10 –5;

D = 10r2CАСr1r2 = 0,01 – 9×10 –5×10 –5×10 4 = 0,01.

Окончательно получаем:

I3(p) =++ 9×10 –5 + 3×10 –4×t + 0,1×е -2000tА = i3(t).


Задача 7.46. В приведенной на рис. 7.69,а  схеме рассчитать напряжение и ток индуктивности. Числовые значения:  u = 24 ВL= 0,25 Гн, r1= 30 Омr2= 10 Ом.

Решение

1. Рассчитаем независимое начальное условие и запишем величину внутренней операторной ЭДС:   iL(0+) = iL(0-) === 2,4 А,

LiL(0+) = 0,25·2,4 = 0,6 В·с.

2. Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 7.69,б.

3. Поскольку обе операторные ЭДС оказались в одной ветви, изображе-ние тока IL(p) определим по закону Ома:

Похожие материалы

Информация о работе