Переходные процессы (пп) в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

Страницы работы

Фрагмент текста работы

системой линейных дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа             i1(t) = i2(t) + i3(t),

r1i1 + r2i2 + L= E,

r1i1 + (r3 + r4)·i3 = E, решение которой будем искать в виде  iq(t) = iqпр(t)+iqсв(t);  uL(t) = uLпр(t)+uLсв(t).

3. Принуждённый режим:

i1пр === 10 А;

i2пр = i1пр·= 10·= 5 А;

i3пр = i1прi2пр = 10 – 5 = 5 А,        uLпр = 0.

4. Свободный режим.

Составим характеристическое уравнение путём записи входного сопротивления в операторной форме (2-й способ):   + r1 = 0.

Но можно составить характеристическое уравнение и относительно ветви с накопителем, при этом источник заменяется его внутренним сопротивлением (рис. 7.21). Тогда вид уравнения будет проще:

+ r2 + pL = 0;      + 10 + 20·10 -3·p = 0;     p = -750 c -1.

Тогда   i1св = А1еpt = А1е -750t;   i2св = А2е -750t;   i3св = А3е -750t;   uLсв =Bе -750t.

Постоянные интегрирования определим при t = 0+.

I способ решения

Схема после коммутации для  t = 0+  имеет вид рис. 7.22. По методу двух узлов

uab(0+) === 56,25 B.

Токи в момент коммутации

i1(0+) === 9,375 А,

i3(0+) === 5,625 А   или   i3(0+) = i1(0+) – i2(0+) = 5,625 А,

uL(0+) = uab(0+) – r2i2(0+) = 56,25 – 10·3,75 = 18,75 B.

Запишем свободные составляющие при t = 0+:

i1св(0+) = А1 = i1(0+) – i1пр = 9,375 – 10 = -0,625 А,

i2св(0+) = А2 = i2(0+) – i2пр = 3,75 – 5 = -1,25 А,

i3св(0+) = А3 = i3(0+) – i3пр = 5,625 – 5 = 0,625 А,

uLсв(0+) = B = uL(0+) – uLпр = 18,75 – 0 = 18,75 B.

Итак:  i1св(t) = -0,625е -750t А,       i1(t) = 10 – 0,625е -750t А,

i2св(t) = -1,25е -750t А,         i2(t) = 5 – 1,25е -750t А,

i3св(t) = 0,625е -750t А,        i3(t) = 5 + 0,625е -750t А,

uL(t) = uLсв(t) = 18,75е -750t B.

II способ решения

Постоянную интегрирования  А2  можно определить сразу, так как ток

i2 подчиняется первому закону коммутации:

А2 = i2(0+) – i2пр = 3,75 – 5 = -1,25 А,

i2св(t) = А2е -750t = -1,25е -750t А,       i2(t) = i2пр(t) + i2св(t) = 5 – 1,25е -750t А.

Определим напряжение на индуктивности

uL(t) = L= 20·10 -3·(-1,25)(-750)е -750t = 18,75е -750t B.

Узловое напряжение

uab(t) = r2i2(t) + uL(t) = 10·(5 – 1,25е -750t) + 18,75е -750t = 50 + 6,25е -750t B.

Токи   i3(t) === 5 + 0,625е -750t А,

i1(t) = i2(t) + i3(t) = 5 – 1,25е -750t + 5 + 0,625е -750t = 10 – 0,625е -750t А.

5. Построим графики  i2(t) и  uL(t). Длительность переходного процесса

ТПП = 4t== с = 5,33 мс.

Результаты расчётов представим в виде табл. 7.2.

Таблица 7.2

t, мс

0

1,33

2,67

4

5,33

i2св,А

-1,25

-0,46

-0,17

-0,06

-0,02

i2,А

3,75

4,54

4,83

4,94

4,98

uL, В

18,75

6,9

2,54

0,93

0,34


Графики представлены на рис. 7.23.


ЗАДАЧА 7.10. В схеме рис. 7.24,а рассчитать токи переходного процесса классическим методом. Параметры цепи:  U= 50 В, r1 = r3 = 100 Омr2 = 50 ОмС = 100 мкФ.

Решение

1. Состояние цепи до коммутации:  i1(t-) = i2(t-) = 0,  uC(t-) = U= 50 В. В соответствии  со  вторым  законом коммутации независимое начальное  условие –    uC(0+) = uC(0-) = 50 В.

2. Согласно классическому методу искомые переходные  токи записываются в виде суммы принуждённых и свободных составляющих:

i1 = i1пр + i1св,    i2 = i2пр + i2св,     i3 = i3пр + i3св.

3. Рассчитываем принуждённые составляющие токов:

i2пр = 0;   i1пр = i3пр === 0,25 А.

3. Характеристическое уравнение составим, используя входное сопротивление в операторной форме (см. 7.1.1, второй способ составления характеристического уравнения):    Z(p) =+ r2 += 0.

Корень характеристического уравнения:

p = -= -= -100 с –1.

4. Свободные составляющие токов при одном корне характеристиче-ского уравнения:  i1св = А×е рt,    i2св = В×е рt,    i3св = D×е рt.

5. Постоянные интегрирования А, В, D находятся с использованием начальных условий, которые, однако, можно получить разными способами. Рассмотрим некоторые из них. 

а) первый способ. Составляется система уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационного режима для начального момента времени:       i1(0)i2(0)i3(0) = 0,

i1(0)×r1 + i2(0)×r2 + uC(0) = U,

i1(0)×r1 + i3(0)×r3 = U.

С числовыми значениями:       i1(0)i2(0)i3(0) = 0,

i1(0)×100 + i2(0)×50 + 50 = 50,

i1(0)×100 + i3(0)×100 = 50.

Решение системы:   i1(0) = 0,125 Аi2(0) = -0,25 Аi3(0) = 0,375 А.

Постоянные интегрирования:

А = i1св(0) = i1(0) i1пр = 0,125 – 0,25 = -0,125;

В = i2св(0) = i2(0) i2пр = -0,25 – 0 = -0,25;

D = i3св(0) = i3(0)i3пр = 0,375 – 0,25 = 0,125.

б) второй способ. Расчёт выполняется по эквивалентной схеме, составленной на начальный момент времени. Здесь используется следствие из законов коммутации: индуктивность в момент коммутации ведёт себя как источник тока с током iL(0), ёмкость – как источник ЭДС с напряжением uC(0). Для начального момента времени, таким образом, получаем схему рис. 7.25,а. Учитывая, что в цепи оказались два одинаковых источника uC(0) = U, можем утверждать, что потенциалы точек а и b одинаковы, и точки можно соединить перемычкой. Получаем схему рис. 7.25,б, из которой находим начальные значения токов:   i3(0) == = 0,375 А,

i1(0) = i3(0)×= 0,375×= 0,125 А,

i2(0) = i1(0)i3(0) = 0,125 – 0,375 = -0,25 А.

Далее постоянные интегрирования определяются как в первом способе.


в) третий способ. Расчёт выполняется по эквивалентной схеме для начального момента времени только для свободных составляющих (рис. 7.25,в). Определим необходимое начальное значение свободной составляющей напряжения на конденсаторе. Значение принуждённой составляющей:    uCпр = i3пр×r3 = 0,25×100 = 25 В.

uCсв(0) = uC(0)uCпр = 50 – 25 = 25 В.

Постоянные интегрирования:   В === -0,25;

А = В×= -0,25×= -0,125,

D= -В×= 0,25×= 0,125.

6. Записываем окончательные выражения для токов:


i1(t) = 0,25 – 0,125×е –100t A;    i2(t) = -0,25×е –100t A;    i3(t) = 0,25 + 0,125×е –100t A.

7. Для построения графика i1(t) вычислим:

- постоянная времени цепи t = 1/|p| = 1/100 c = 10 мс,

- практическая длительность переходного процесса   Тпп = (3¸5)t = 4×t = 40 мс.

График представлен на рис. 7.26.

ЗАДАЧА 7.11. В схеме рис. 7.27 рассчитать токи переходного процесса. Параметры цепи:  U= 60 В,   r1 = 9 Ом,

r2 = r3 = 30 Ом,   r = 10 Ом,   L= 0,4 Гн.

Ответыi1(t) = 2,5 – 0,346×е –92,3t A;

i2(t) = 1,25 – 0,450×е –92,3t A;

i3(t) = 1,25 + 0,104×е –92,3t A.

ЗАДАЧА 7.12. В схеме рис. 7.28 рассчитать токи переходного процесса. Параметры цепи:

U= 300 Вr1 = r2 = r3 = 100 Ом,   L= 0,5 Гн.

Ответыi1(t) = 3 – е –100t A;

i2(t) = е –100t A;

i3(t) = 3 – 2×е –100t A.

ЗАДАЧА 7.13. В схеме рис. 7.29 рассчитать напряжение на конденсаторе и токи переходного процесса. Параметры цепи:  U= 100 В, r1 = 50 Омr2 = r3 = 100 ОмС = 60 мкФ.

ОтветыuС(t) = 66,67 + 33,33×е –125t В;

i1(t) = 0,667 – 0,167×е –125t Ai2(t) = -0,250×е –125t A;   i3(t) = 0,667 + 0,083×е –125t A.

ЗАДАЧА 7.14. Решить задачу 7.13 со следующими числовыми данными:

Похожие материалы

Информация о работе