Электрические цепи с распределёнными параметрами в установившемся РЕЖИМЕ

Страницы работы

Содержание работы

8. Электрические цепи с распределёнными параметрами

8.1. Электрические цепи с распределёнными параметрами в установившемся РЕЖИМЕ

8.1.1. Основные теоретические положения

Устройства или электрические цепи, в которых токи i(x,t) и напряжения u(x,t) являются функциями не только времени t, но и зависят от координаты x, называют длинными линиями или линиями с распределёнными параметрами (ЛРП). Факторами, которые обусловливают распределённость параметров, являются значительная протяжённость устройства в пространстве, высокое напряжение, высокая частота. Примерами ЛРП являются: линии электропередач напряжением 110 кВ и выше, короткие линии связи у микрофона, кабель телеантенны, сами антенны радио и телепередатчиков, устройства задержки сигналов, гирлянды изоляторов.

Исходными характеристиками или первичными параметрами длинных линий являются:

- r0, Ом/м – продольное сопротивление линии на единице длины;

- g0, См/м – поперечная проводимость линии, причём   g0 ¹ r0-1;

- L0, Гн/м  и  C0, Ф/м, соответственно, – индуктивность и емкость линии на единице длины.

Если параметры r0, g0, L0, C0  одинаковы по всей длине линии, то линия называется однородной. В справочной литературе существуют формулы, по которым можно рассчитать первичные параметры линии по известным конструктивным параметрам.

Наиболее общие уравнения двухпроводной линии, которые справедливы для любого режима работы, имеют вид:

-= r0·i + L0,

-= g0·i + C0.                                         (8.1)

Если же линия работает при синусоидальных токах и напряжениях, то уравнения упрощают, сводя их в комплексной форме к одному дифференциальному уравнению второго порядка с нулевой правой частью. Решение таких уравнений можно записать для действующих и мгновенных значений напряжения и тока в любой точке, отстоящей на расстоянии x от начала линии или на расстоянии у от её конца:

                (8.2)

u(x,t) =A1eax·sin(wt + yобр + bx) +A2eax·sin(wt + yпрbx);                (8.3)

i(x,t) = -eax·sin(wt + yобрjC + bx) +eax·sin(wt + yпрjCbx);

                  (8.4)

Здесь:    Z0 = r0 + jwL0, Ом/км,     Y0 = g0 + jwC0, Cм/км;

ZC = ZC·=, Ом – характеристическое (волновое) сопротивление линии;

g  = = a + jb , 1/км – коэффициент распространения волны в линии;

a, Нп/км   – коэффициент затухания волны;

b, рад/км  – коэффициент изменения фазы волны в линии;

A1A2yпр,yобр – постоянные интегрирования;

U1, U2, I1, I2 – напряжение и ток, соответственно, в начале и в конце линии.

Величины ZС и g  называют вторичными параметрами линии, их  можно рассчитать через первичные параметры линии  r0, g0, L0, C0, и наоборот.

Из уравнений (8.3) для мгновенных значений следует, что в любом сечении линии ток и напряжение есть наложение двух встречных затухающих синусоид-волн – прямой (падающей) и обратной (отражённой). Иными словами: в линии имеют место волновые процессы, причём:

u(x,t) = uпр + uобр;     i(x,t) = iпрiобр.                                  (8.5)

Бегущую электромагнитную волну можно охарактеризовать напряжением, током, длиной волны l и фазовой скоростью её распространения v:

l= 2p /b = v /f,        v = w /b.                                (8.6)

Поскольку коэффициент фазы b выражается через w, Z0, Y0, то длина волны и скорость её распространения зависят от частоты и параметров самой линии.

Для воздушных линий характерно:

ZС > 150 Ом,    v= c = 300×103 км/с, для кабельных линий обычно:     ZС < 120-150 Ом, v ≈ ½c = 150×103 км/с.

Входное сопротивление и параметры линии могут быть определены по её конструктивным параметрам (по справочным данным) или по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания (ZН – сопротивление нагрузки, l – длина линии):

ZВХ == ZС·= ZХХ ·;    ZХХ =;    ZКЗ = Zc×thg l.

Через сопротивления ZХХ и ZКЗ вторичные, а затем и первичные параметры линии определяются по выражениям:

ZС=;               thg l =;     = е2al·е j2bl;       (8.7)

g ×ZC == Z0=R0 + jωL0;       g /ZC = Y0 = g0 + jωC0.        (8.8)

Отношение напряжения падающей волны в конце линии к напряжению отражённой волны в конце линии называется коэффициентом отражения волны:

K ==.                                      (8.9)

Соотношения для линий при согласованной нагрузке  Zн = Zс:

ZВХ = Zс;η = е -2αl;       (8.10)

В технике связи, где возможны сигналы широкого диапазона частот, выделяют понятия линии без искажений сигналов (ЛБИ), в которой сигналы на всех частотах распространяются с одинаковой скоростью и затухают в равной степени, и линии без потерь (ЛБП), в которой  wL0 >> r0wC0 >> g0  и величинами  r0g0  можно пренебречь.

Соотношения для ЛБИ:

;   a =¹ f(w),   b= w;   v =¹ f(w), характеристическое сопротивление   Zc =   резистивное.          (8.11)

Соотношения для ЛБП:   r0 = 0,   g0 = 0;  a = 0 ¹ f(w),   b= w;

v =¹ f(w);     ЛБП является частным случаем ЛБИ;

характеристическое сопротивление   Zc =   резистивное;

основные уравнения ЛБП:                    (8.12)

входное сопротивление ЛБП:

Zвх =Zc·,     ZхХ = -j;    ZКЗ = jZc·tgbl.         (8.13)

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Задания на контрольные работы
Размер файла:
505 Kb
Скачали:
0