Степенной итерационный метод

ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Кафедра “Прикладная математика”

Лабораторная работа № 2

“Степенной итерационный метод”

Выполнила:

студентка группы ЭТ-401

Кожевникова Е. М.

Проверил:

доц. Вашакидзе Л. С.

Санкт-Петербург

2006

Идея метода – для вычисления наибольшего собственного значения матрицы A  строится итерационная последовательность векторов X₀, A·X₀, A²·X₀ и т.д. (с нормированием) и вычисляется последовательность отношения одноименных координат каждого последующего вектора к предыдущему. Доказано, что все три последовательности отношений одноименных координат сходятся и имеют одинаковый предел, который равен наибольшему собственному значению.

1. Вычисление наибольшего собственного значения

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

format long e

A=[2 2 12;2 5 0;12 0 2]

Lcobctben=eig(A)

pause

X=[1;1;1];

X=X/max(abs(X));

for I=1:20,

X1=A*X;

Z=X1./X;                    

X=X1/max(abs(X1));

Z=Z'

pause

end;

РЕШЕНИЕ

Исходная матрица:

A =

     2     2    12

     2     5     0

    12     0     2

Собственные числа матрицы:

Lcobctben =

   -1.013289022614487e+001

    4.913983857884876e+000 – наибольшее по модулю собственное число матрицы

    1.421890636825999e+001 – наименьшее по модулю собственное число матрицы

Последовательность отношения одноименных координат:

Z =

    16     7    14

Z =

    1.337500000000000e+001    9.571428571428571e+000    1.571428571428571e+001

Z =

    1.496261682242991e+001    1.138805970149254e+001    1.367272727272727e+001

Z =

    1.374953154278576e+001    1.339318479685452e+001    1.477393617021277e+001

Z =

    1.457706809612502e+001    1.361649867893140e+001    1.388820882088209e+001

Z =

    1.397406859155149e+001    1.422434547636672e+001    1.447786750314327e+001

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Z =

    1.422194683755668e+001    1.421705435097050e+001    1.421584511779845e+001

Z =

    1.421674008811518e+001    1.422022619751923e+001    1.422108839829996e+001

ВЫВОД

Наблюдается покоординатная сходимость последовательности отношений одноименных координат последующего вектора к предыдущему ,  = 0,1,….

2. Вычисление наименьшего собственного значения

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

format long e

A=[2 2 12;2 5 0;12 0 2]

A=inv(A)

Lcobctben=eig(A)

pause

X=[1;1;1];

X=X/max(abs(X));

for I=1:20,

X1=A*X;

Z=X./X1;               

X=X1/max(abs(X1));

Z=Z'

pause

end;

РЕШЕНИЕ

Исходная матрица:

A =

     2     2    12

     2     5     0

    12     0     2

Обратная матрица:

A =

   -1.412429378531074e-002    5.649717514124295e-003    8.474576271186440e-002

    5.649717514124295e-003    1.977401129943503e-001   -3.389830508474576e-002

    8.474576271186442e-002   -3.389830508474577e-002   -8.474576271186442e-003

Собственные числа матрицы:

 Lcobctben =

   -9.868852594690127e-002

    7.032889689971092e-002 – наибольшее по модулю собственное число матрицы

    2.035008719850434e-001 – наименьшее по модулю собственное число матрицы

Последовательность отношения одноименных координат:

Z =

    1.311111111111111e+001    5.900000000000000e+000    2.360000000000000e+001

Z =

    2.197241379310345e+001    5.213549337260678e+000    1.180000000000006e+002

Z =

    2.102826710364607e+001    5.051297677839655e+000   -4.428321240930674e-001

Z =

   -4.758468019493924e+000    4.946673412939747e+000    4.109858574005385e+000

Z =

    3.906505960486727e+000    4.932665603381023e+000    4.348661835239082e+000

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Z =

    4.914013370186229e+000    4.913984033675149e+000    4.913976513518347e+000

Z =

    4.913969101015989e+000    4.913983776784960e+000    4.913987313487263e+000

ВЫВОД

Наблюдается покоординатная сходимость последовательности отношений одноименных координат последующего вектора к предыдущему ,  = 0,1,….