Классификация сил по характеру производимой работы. Кинетическая энергия системы материальных точек

Страницы работы

Содержание работы

Теорема: Работа равнодействующей системы сил на некотором перемещении м. т.     равна сумме работ составляющих сил данной системы на том же самом перемещении м. т.

Частные случаи:

1. Работа постоянной по величине  и по направлению силы.

                                                                                         

М                                      

M0                                                                                       

                                                                                                        Fx = C1

 = , т.е.      Fy = C2

Fz = C3    

Т.к. в данном случае (см. ф-лу (27)) каждое из слагаемых независимы друг от друга, то интеграл можно разбить на 3 интеграла, а именно:

x           x         x

А = ∫Fxdx + ∫Fydy +∫Fzdz = Fx(x-x0) + Fy(y-y0) + Fz(z-z0) ;    (28)

x0          x0        x0

Вывод: Работа постоянной силы зависит только от начального и конечного положений точки на траектории и не зависит от формы траектории (или длины постоянного пути)!

Пример: Работа силы тяжести

                               Y                           

M(x,y,z)                            Fx = Fy = 0

                                                                                                                         Fy = -q = -mg

M(x0,y0,z0)                                                   

A = -mg(y-y0)

q         

0  X

Z                                         а) Пусть точка М поднимается, т.е. y>y0. ↑↓ (перемещение и сила тяжести противоположны по    направлению).

y – y = Δy = h > 0.   тогда  A = -mgh < 0

б) Пусть точка М опускается вниз, т.е. y < y0.

            y – y = -h ;   A = mgh > 0

Вывод: Работа отрицательная, если сила и перемещение противоположны по направлению!

Классификация сил по характеру производимой работы.

− консервативные силы

− неконсервативные (диссипативные) силы

Опр: Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, по которой движется м.т. (от длины пути), а зависит от начального и конечного положений точки на траектории (пример: постоянная сила – сила тяжести).

Опр: Неконсервативными (диссипативными) называются силы, работа которых зависит от формы траектории, т.е. от длины пути, пройденного точкой (пример: силы трения, силы сопротивления).

Рассмотрим работу консервативной силы:

Часть пространства, в каждой точке которого задана консервативная сила (x,y,z) называется динамическим полем этой консервативной силы, силовым полем.

Введём понятие «потенциальной функции» для определения работы силы.

Опр: Потенциальной (силовой) функцией консервативной силы  называется такая аналитическая функция U (x,y,z), зависящая точка от координат точки, которая:

1)  в любой точке динамического поля определена, однозначна и дифференцируема;

2)  в некоторой точке динамического поля U (x,y,z) = 0. Эта точка динамического поля называется «нулевой точкой»: H (xн,yн,zн);

3)  значение потенциальной функции в данной точке динамического поля определяется работой при перемещении м.т. из начальной точки в данную точку динамического поля.

(x,y,z)

U (x,y,z) = ∫(Kxdx + Kydy + Kzdz)    (*)

(xн,yн,zн)

Рассмотрим м.т. в динамическом поле консервативных сил K (x,y,z).

                                                                                 М 

 


М0

    

 


H (xн,yн,zн)

(x,y,z)                             (xн,yн,zн)                           (x,y,z)

A = ∫(Kxdx + Kydy + Kzdz) = ∫(Kxdx + Kydy + Kzdz) + ∫(Kxdx + Kydy + Kzdz)

(x0,y0,z0)                          (x0,y0,z0)                          (xн,yн,zн)

 


-U(x0,y0,z0)                         U(x,y,z)

A = U(x,y,z) - U(x0,y0,z0) = U – U0 ;

A = U – U0   . . . (29)

Работа консервативной силы на замкнутой траектории = 0 (функция однозначная!).

Условия, при которых аналитическая функция U(x,y,z) является потенциальной функцией консервативной силы (x,y,z).

Если  – консервативная сила, то выражение под знаком ∫-ла → полный диффернциал dU

Kxdx + Kydy + Kzdz = dU … см. (*)

Т.к. U(x,y,z), то

dU = dx + dy + dz , тогда

Kx =

Ky =                            Kxdx + Kydy + Kzdz = dx + dy + dz

Kz =               (30) – условия, необходимые для того, чтобы функция U была потенциальной                                      функцией консервативной силы    

Т.е.  = grad U  (30)*

Самостоятельно: эквипотенциальные поверхности, теорема о необходимом и достаточном условиях консервативности силы  (x,y,z).

 =

 =

 =

Потенциальная энергия:

Похожие материалы

Информация о работе