Механика: Методические указания к практическим занятиям дисциплины "Физика", страница 2

υ_x = υ₀ cos α = const,

υ _у = -υ₀ sin α + gt

(так как мы выбрали направление оси y вниз),

υ = .

Из подобия треугольников имеем:       

 = ,    = , отсюда                              a_τ = g ,  a_n = g .

Радиус кривизны траектории определяется из условия:

a_n = , значит                                         R=  = .

Подставив численные значения, получим:

a_τ  =  = 3,55 ,

a_n  =  = 9,15 ,

R =  = 10 м.

Задача 3

Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 мин с 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

Решение

Запишем кинематические соотношения для вращательного движения:               ω = ω₀ – ε t,                      φ = ω₀t – ε .

В условии задана не угловая скорость ω, а  частота вращения ν,              ω = 2πν,        φ = 2πΝ.

Подставляем эти соотношения в уравнения:

2πν = 2πν₀ – ε t.

Отсюда                                      ε = ,

2πΝ = 2π ν₀t – ε = 2πν₀t– 2π (ν₀–ν) = 2π (ν₀+ν), или                                                 N= (ν₀+ν).

Подставив числовые значения, найдём:

ε = 750 мин ^-2 = 0,208 с ^-2,

N = 240 оборотов.

Задача 4

Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60^о с направлением линейной скорости этой точки.

                                          Решение

aτ α

Скорость точки направлена по касательной к траектории, т. е. к окружности. По  касательной направлено и тангенциальное   ускорение. Значит, угол между полным ускорением и тангенциальным ускорением равен углу между ускорением и скоростью.

На чертеже видно, что               a_n = a_τ tg α.                                          (1)

Выражаем a_n и a_τчерез угловые параметры движения:

a_n = ω²R,       a_τ = εR, и подставляем в (1)

ω²R= ε R tg α.                                     (2)

При нулевой начальной скорости

        ω = ε t.

Подставляем в (2):

ε²t² = ε tg α,

ε =  = 0,43 с^-2.

2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Основные формулы

Уравнение динамики поступательного движения тела:

, где m – масса тела,  – его ускорение,  – сумма всех действующих на тело сил.

Импульсом тела называется произведение массы тела  на его скорость:                                         .

Закон изменения импульса: 

 = .

Работой силы F на перемещении ds называется произведение проекции силы на направление перемещения на это перемещение:

dA= F_s ds = Fds cosα, где α – угол между направлениями силы и перемещения.

Работа переменной силы вычисляется как:

A = .

Мощностью называют работу, произведенную за единицу времени:                                           N = .

Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы, действующей на тело, на его скорость:

N = .

Кинетическая энергия тела при поступательном движении:

, где  m – масса тела, υ – его скорость.

Потенциальная энергия тела

– в однородном поле тяжести: 

E_п=  mgh

(m– масса тела, g– ускорение свободного падения, h– высота тела над точкой, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю);

– в поле упругих сил:

E_п =

(k – коэффициент жесткости упругого тела, x – смещение от положения равновесия).

В замкнутой системе частиц полный импульс  системы не меняется в процессе ее движения:

Σ = const.

В замкнутой консервативной системе частиц сохраняется полная механическая энергия:

E = E_k + E_п =const.

Работа сил сопротивления равна убыли полной энергии системы частиц или тела:                         A_conp = E₁ – E₂.

Примеры решения задач

Задача 5

Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 25% всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол?

Решение