Исследование математической модели. Вычисление дифференциального уравнения в пакете MathCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Тело массой т подвешено к концу пружины с коэффициентом жесткости С и помещено в жидкость (рис. 3.1). В начальный момент груз из положения статического равновесия смещен в заданном направлении на величину хО (таб. 3.1) и ему в заданном направлении сообщена начальная скорость VО. В процессе движения на тело так же действует возмущающая сила Р(t) заданная кусочно-непрерывной функцией, (рис. 3.2 а) параметры которой приведены в таблице 3.2. Сила сопротивление движению R пропорциональна скорости тела R( V ) =-bV

где b - коэффициент сопротивления жидкости в зависимости от глубины, задан графически (рис. 3.2 б), коэффициент сопротивления воздуха b0=5

Вариант 15

M=35кг; V0=6м/с; X0=0.08м; C=2500H/м; h=0.12м; h1=0.6м

Параметры возмущающей силы Р(t)

t1=1c; t2=2c; t3=5c; P0(t)=100*sin(wt), H ; P1(t)=200*sin(2wt), H ; P2(t)=10*cos(2wt)*50*sin(3wt), H; P3(t)=0 , H;

где t1,t2,t3 моменты времени изменения силы Р(t). (t0=0).

Схема движения груза и действующие на него сил

Постановка задачи

1.Составить математическую модель колебательного движения груза под воздействием возмущающей силы P(t)

2. В пакете MathCAD по полученной математической модели определить значения функций движения, скорости и ускорения груза;

3. Построить графики функций движения, скорости и ускорения тела;

4. С помощью пакета MathConnex выполнить моделирование влияния коэффициента жесткости пружины (C) на движение груза и определить при какой предельной жесткости С1 груз не выйдет за допустимую глубину h1.

5. Для найденной жесткости пружины построить графики функций движения, скорости и ускорения груза.

Составление математической модели.

Направим ось х вдоль пружины по вертикали вниз, взяв начало отсчета в положении статического равновесия груза. Запишем начальные условия движения груза:

при t=0  x=x₀   x^’=x^’₀

Изобразим груз в положении, при котором его абсцисса х положительна.

Предположим, что груз движется в сторону возрастания абсциссы х.

Кроме сил F и R, кгрузу приложена его сила тяжести Р = тg. Составим дифференциальное уравнение движения груза:

mx’’+R(V)-F+G=P(t);

где G=mg- вес тела

F=-c(Δ-x)- сила упругости

При t=0, V=6, X0=0.08   

2.3. Вычисление дифференциального уравнения в пакете MathCAD.

1.  Составим математическую модель движения груза под воздействием силы P(t).

t1, t2, t3-моменты времени изменения силы P1, P2, P3 соответственно .

Зададим  начальные условия кусочно-непрерывной функции и построим график изменения силы P(t).

Зададим значение при

График изменения силы P(t) 

Аппроксимируя методом сплайновой интерполяции данную зависимость, получим зависимость коэффициента сопротивления жидкости в зависимости от глубины.

В пакете MathCAD по полученной математической модели определить значения функций движения, скорости и ускорения тела.

Зададим начальные параметры: массу(m), начальную скорость(V₀) и коэффициент трения скольжения (f).Составим и решим дифференциальное уравнение, построим график движения, скорости и ускорения тела. 

График перемещения

График скорости

График ускорения

Следующее выражение необходимо нам для моделирования влияния коэфициента жесткости пружины (С) на движение груза и определения  при какой предельной жесткости груз не выйдет на допустимую глубину

(с помощью пакета MathConnex)