Исследование математической модели вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы

вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы. Математическая модель служит для исследования колебательной системы и определения различных режимов колебаний.

Если t≤ t, то действия повторяется, начиная с пункта 6; если t >t, то вычисления завершаются.

Например, требуется определить динамическую реакцию двух массовой не демпфированной колебательной модели рис. 1а,б подверженный воздействию постоянной силы. Колебательный процесс такой модели описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка:

           mu+ k(u-u)=0;

mu- k(u-u)+ku=q;  где u│= u│=0;  u│= u│=0;

или в матричной форме

Mu+Ku=p,

Где

      В качестве исходных данных возьмем следующие параметры модели:

m=10; m=10; k=10; k=10; q=10.

Изложенная выше последовательность действий по θ – методу Вильсона при наблюдении за данной моделью с момента времени t=0 до t=25 (шаг дискретизации h=1 c.) содержится в БЕЙСИК-программе. Смысл принятых обозначения в алгоритме и программе представлен в приложениях.

1.  С помощью математического моделирования получаем эталонные графики колебательных процессов для математической модели материальной точки  при определённых (оптимальных) значениях коэффициентов жесткости пружины и различных значениях масс, соответствующих определённой статической нагрузке.

2.  Расчётным путём определяются все необходимые параметры.                          3.    Строятся сводные графики полученных расчетов.

4.    Производим аппроксимацию функций.

а)                                                    б)

m

                       y

 

EF

                                                                                                    a

P

k

			m

 

y

 

EF                    a

 

P                                  

k

 

Рис. 1 Двух массовая не демпфированная колебательная модель (а) и её конечно-элементный аналог (б).

2.2. Исходные данные и результаты

                                  Задача № 1

Наименование Переменных	Описание переменных
R1,R2,R3 ( )	Длины звеньев
P  ( )
ά
T

2.3. Общая графическая схема решения задачи и ее описание.

 

                      Рис. 2 Графическая схема

Описание графической схемы решения

1. Присваиваем известным величинам их значения.

2. Решаем систему дифференциальных уравнений с помощью функции    rkfixed.

     3. Выводим матрицу решений.

4. Выводим графики изменения углов поворота от времени.

 5. Начало проведения опытов ( i – номер опыта )

6. Количество опытов равняется 7

 7. В каждом опыте длину звеньев математической модели.

 8. Вычисляем углы поворота в зависимости от изменений длин звеньев.

 9. Вывод графиков углов поворота как результата.

11. Изменяем номер опыта.

12. Выводим сводные графики зависимостей изменения углов поворота от изменений длин звеньев.мат.модели .

13. Выводим аппроксимирующую зависимость.

14. Конец. [Рис. 2 ]

 2.4. Планирование исследований.

При решении задачи необходимо провести ряд опытов в которых исследуется влияние изменения длин звеньев математической модели на графики углов поворота  механизма.

Изменяемые параметры	1	2	3	4	5	6	7
R1	0.93	1.93	2.93	3.93	4.93	5.93	6.93

Изменяемые параметры	1	2	3	4	5	6	7
R2	0.67	1.67	2.67	3.67	4.67	5.67	6.67

Изменяемые параметры	1	2	3	4	5	6	7
R3	0.87	1.87	2.87	3.87	4.87	5.87	6.87

3. Описание документа исследования.

3.1. Описание документа исследования.

При помощи системы MathCAD были проведены исследованияматематической модели вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы. Использование системы MathCAD позволило значительно облегчить решение сложных математических задач.

Документ содержит теоретические выкладки из курса математики, теоретических основ механики, ТММ, основ математического моделирования (Пункт 1)

Постановку и алгоритмический анализ задачи (Пункт 2)

Описание документа  и исследования (Пункт 3)

В пункте  приложение  стр.  выполнено решение задачи и проведение исследований.

В приложении стр. реализовано решение задачи и расчет перемещения, скорости и ускорения математической модели.

Это производилось с помощью переменной ORIGIN. Которая определяет начальный номер элементов в массиве, независимо с какого начального значения он определен с помощью дискретной переменной. ORIGIN:=1 означает, что каждый массив будет начинаться с номера один.

Система дифференциальных уравнений представляется в виде D (t,φ) приложение  стр.  .Она решается при помощи стандартной функции rkfixed , которая ищет решения при помощи метода Рунге – Кута со стандартным шагомW:= rkfixed (φ,0,50,1000,D)

Где φ – вектор начальных условий

0,50 – интервал времени

1000 – число точек в которых ищется решение

D (t,φ) – вектор функция содержащая первые производные неизвестной функции

Затем выводим матрицу решений в виде  W := [   ] приложение     стр.     которая содержит в себе три столбца. Первый отражает время, второй , третий углы поворота. После чего, для наглядности, строятся, графики углов поворота от времени приложение    стр.    . Для этого задается дискретная переменная i :=1…200.

При определении ускорения приложение  стр.  полученные результаты подставляем в исходную формулу для ускорения. Вместо

φ ₁ – подставляем (W^<1>)_I , вместо φ₂ – подставляем (W^<2>)_I

    После выполнения данных расчетов производим 7 опытов приложение   стр.   , для исследования влияния длин звеньев на изменение углов поворота материальной модели. В каждом опыте изменяем длину звеньев всего механизма. Дифференциальное уравнение и матрица начальных условий остаются теми же. Решения представляются графически. Из графиков становится видно изменение периода и амплитуды колебаний приложение    стр.   .

     После проведения всех опытов строится сводный график, который дает полную визуальную информацию о математической модели приложение    стр.   .

По результатам опытов строится аппроксимирующая функция. Для чего задаются вектора  Cr и Ac приложение   стр.    .

После чего находятся максимальные амплитуды перемещения , для чего строится вектор S.

Проводим аппроксимацию по методу наименьших квадратов при помощи функции pspline  приложение   стр.      . Задаются дискретные переменные      i :=0..10     и      v := 0..10

Точечная зависимость максимальных амплитуд от длины строится в i точках, а аппроксимация в v точках.

Все эти функции вычисляют вектор коэффициент вторых производных исходной функции заданной таблично.

Для получения инерполяции функции применяется стандартная функция вида:       TP (r) := interp (K,Cr,Ac,v)

Где – Cr ,Ac –те же значения

К – вектор коэффициент вторых производных сплайн интерполяции

Строится аппроксимирующая функция на одном поле с зависимостью