Высшая математика: Планы занятий (Линейная алгебра. Комплексные числа. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ)

Кафедральный проект. ТЭ3ка.

Планы занятий.

Первый семестр

Раздел 1. Линейная алгебра. Комплексные числа

КР.1  №1,2,3

1.

Понятие матриц, операции над матрицами. Вычисление определителей квадратных матриц. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Формулы Крамера.

КР.1

№1,2,3

1. Найти линейную комбинацию матриц: 1) 2А+3В, где А= В=, 2) 3А+4В, где А= В=.

2. Найти произведение матриц АВ и ВА (если они существуют).

а) А=, В=.    б) А=, В=.

3. Вычислить определители второго порядка:

4 Вычислить определители третьего порядка:

5. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров:

А=             

6. Привести к ступенчатому виду матрицу с помощью элементарных преобразований над строками.

А=.

7. Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы:

.

2.

Матричное решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Операции над комплексными числами.

КР.1

№1,2

1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

а)               б)     в)

2. Исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:

а)  б)

3. Решить однородную систему уравнений 

1)     2)  

4. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:

1.  А₁=(3;5;1;4), A₂=(-2;1;-5;-7), A₃=(-1;-2;0;-1);

2.  А₁=(1;2;-2), A₂=(0;-1;4), A₃=(-2;3;3);

5.  Даны векторы       a = e₁ + e₂ + e₃,     b = 2e₂ + e₃,    c = e₂ + 5e₃   – базис линейного пространства. Доказать, что векторы a,b,c образуют базис. Найти координаты вектора d = 2e₁ – e₂ + e₃  в базисе  a,b,c.

6. Выяснить, разлагается ли вектор В по системе векторов А₁, А₂, А₃:

В=(2;2;3;3), A₁=(1;2;3;1), A₂=(2;1;2;3), A₃=(3;2;4;4).

7. Найти сумму  и разность чисел    Z₁=2+i  и  Z₂=3-2i.

8. Выполнить действия:

1)  (2+i3)(3-i2);  2) (3-i2)² ;  4) (1+i)² ;            5) (5+2i)+(3-i4);

9. Разделить число Z₁=2+3i на число Z₂=1+4i.

Тригонометрическая форма комплексного числа:

10. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:  3+i3; i6; -i3;     1-i.

11*. Выполнить действия:

1)     2)     

3) 

12*. Решить уравнение  х²+2х+2=0.

Решение: .

Ответ: х₁=-1+i,  x₂=-1-i.

13*. Решить уравнения: 1) x²+25=0   2)  x²-2x+2=0    3) x²-2x+5=0  -  и проверить подстановкой корней в уравнение.

Раздел 2. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

КР.2   №1,2,3

3.

Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Длина и направление вектора. Деление отрезка в данном отношении. Условие коллинеарности векторов. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение в координатах.

КР.2

№1

1. Даны вектора . Найти координаты векторов    

2. Найти длины диагоналей параллелограмма построенного на векторах .

3. Векторы  и  определяют стороны DАВС. Найти длину вектора , совпадающего с медианой, проведенной из вершины С.

4. Найти скалярное произведение векторов , зная что   и векторы образуют угол

5. Даны векторы . Вычислить:

4.

Векторное и смешанное произведения векторов и их свойства. Выражение в координатах. Приложения скалярного, векторного и смешанного произведений.

Простейшие задачи аналитической геометрии.

КР.2

№2,3

1. Даны векторы . Найти координаты векторных произведений

2. Найти площадь параллелограмма построенного на векторах

3. Векторы  взаимно перпендикулярны,  Вычислить

4. Найти смешанное произведение векторов

5. Компланарны ли следующие векторы = (2,3,1)  = (1,1,3)  = (-1,9,-11)?

6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах

= (1,-2,1),   = (3,2,1),   = (1,0,-1).

Простейшие задачи аналитической геометрии.

1. Определить расстояние между точками

1)  А(3; 8) и В(-5; 14);

2)  C(3; 8; 3)  и  D(4; 6; -6).

2. Точка С(2; 3) служит серединой отрезка АВ. Определить координаты точки А, если В(7; 5).

3. На оси Оу найти точку, равноудалённую от двух точек А(2; 3; 1) и В(-1; 5; -2).

4. Определить площадь треугольника с вершинами А(-2; -4), В(2; 8) и С(10; 2).

5. Определить вид треугольника с вершинами  А(-3; 2; 4), В(0; -2; -1) и С(1; 5; 9). (равносторонний, равнобедренный, разносторонний)

6. Даны вершины треугольника: А(5; 2; 4), В(-3; 6; 0) и С(3; 2; -4). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

7. Построить точки данные полярными координатами: А(2; p/2), В(3; p/4), С(3; 3p/4). Записать координаты этих точек в декартовой системе.

8.  Даны точки в прямоугольной системе координат М₁(0; 5), М₂(-3; 0). Найти их полярные координаты.

5.

Прямая на плоскости. Основные виды уравнений. Нормальное уравнение прямой, расстояние от точки до прямой. Плоскость в пространстве. Основные виды уравнений, расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Прямая в пространстве. Основные виды уравнений. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Решение задач на составление уравнений.

КР.2

№2,3

1. Записать уравнение прямой проходящей через точку А(4;6) и а) параллельно вектору ; б) перпендикулярно вектору .

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки:            а) А(0; 2) и  В(-3; 7)    б) А(2; 1) и  В(4; 1).

3.Определить параметры k и b для каждой из прямых:

1)  2х – 3у = 6; 2) 2х + 3у = 0; 3) у = -3; 4) .

4. Определить точки пересечение прямой 2х – 3у – 12 = 0 с осями координат и построить эту прямую.

5. Найти угол между прямыми 1) у = 2х – 3  и  у = х + 1;   2) 5х – у + 7 = 0  и  2х – 3у + 1 = 0.

6. Найти расстояние точек А(4; 3), В(2; 1), С(1; 0) и О(0; 0) от прямой 3х + 4у – 10 = 0. (Построить эти точки и прямую.)

7. Записать уравнение плоскости:

а) параллельную оси ОХ и проходящую через две точки

М₁(4,0,-2) и М₂(5,1,7);

б) проходящую через точку В(2,1,-1) и имеющую нормальный вектор ;

8. Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки А(2;5;1), В(0;2;-1), с(7;1;0).

9. Составить уравнение плоскости проходящей через точку М₀(7,-5,1) и отсекающую на осях координат равные положительные отрезки.

10. Вычислить угол между плоскостями x-2y+2z-3=0

и 3x-4y+5=0.

11. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2,0,-3) параллельно вектору .

12. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2,0,-3) параллельно прямой

13. Прямая  задана общими уравнениями . Записать её канонические уравнения.

14. Установить взаимное расположение прямой и плоскости и в случае их пересечения найти координаты точек их пересечения:

а)

б)

15. Вычислить угол между прямой         и плоскостью 2х+3у-z+1=0.

Раздел 3. Введение в математический анализ.

 КР.3  № 2,3,4

 Дифференциальное исчисление функции одной переменной

КР.4  №1,2,3,4

КР.5  № 1,2

6.

Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Теоремы о пределах. Методы раскрытия неопределенностей. Непрерывность функции. Точки разрыва, их классификация. Свойства непрерывных функций.

КР.3  № 2,3,4

1. Найти пределы: 1)     2)      3) ;

2. Раскрытие неопределенностей вида      

1)   2)    3)    4)    

5)       6)  7)  8)  

9)  10) .

3.Исследовать на непрерывность функцию  в точках  и   

4. Исследовать на непрерывность функцию  в точках  и

5. Дана функция                                 

Исследовать её на непрерывность. Сделать схематический чертёж.

7.

Производная функции и ее геометрический смысл. Производные суммы, произведения и частного двух функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции.

КР.3  № 2,3,4

КР.4  № 1,2,3,4

1. Найти производные указанных функций:

2. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции  1)  в точке М(1;2);

2) у = е^х в точке х₀ = 0;           3) у = sin x в точке x₀ = .

8.

Производная функции заданной неявно и функции заданной параметрически. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

КР.4  № 1,2,3,4

1. Найдите производные функций, заданных неявно уравнениями:  а) ;  б) .

2. Найдите производные функций, используя логарифмическую производную: