Различные способы решения задач и различные формы записи решения, страница 2

Выше мы говорили только об арифметиче­ских способах решения текстовых задач. Реше­ние задач алгебраически существенно отличается от их решения арифметическими путями. Если при арифметическом решении решающего — последовательно найти с помощью выполнения арифметических действий над данными значениями величин несколько неизвестных значений, пока не будет найдено значение искомого, то при алгебраическом решении эти цели другие.

Целью решающего задачу алгебраически является запись текста задачи в виде уравнения, решение этого уравнения, а затем определение искомого.

Процесс анализа и разбора задачи, форма записи при алгебраическом способе решения задачи отличаются от соответствующих этапов работы над задачей при арифметических способах решения. Так как по одной и той же задаче обычно можно составить не одно, а несколько различных уравнений, то можно говорить о существовании различных алгебраических способов решения одной и той же задачи. Различные способы решения могут отличаться выбором неизвестного, которое обозначается буквой или же (при одном и том же выборе неизвестного) уравнениями, со­ставленными по задаче. В I—III классах решаются путем составления уравнения только несложные задачи, при решении которых бук­вой х (у и т. п.) удобнее всего обозначать искомое. Поэтому два алгебраических реше­ния одной и той же задачи в начальной школе могут отличаться лишь уравнениями. Форма же записи при любом алгебраическом способе остается постоянной.

Решение задачи с помощью уравнения осу­ществляется решающим в несколько этапов. Покажем эти этапы на примере решения зада­чи № 32, с. 100 из учебника математики для II класса: “Хозяйка израсходовала на посуду 7 руб. За 3 руб. она купила кастрюлю, а на остальные деньги два одинаковых ведра. Сколько стоит одно ведро?”

Вначале уславливаются обозначить искомое той или иной буквой (х, у, а, b), и вопрос задачи преобразуется в повествовательное предложение. Текст задачи полезно перефор­мулировать так:

“Хозяйка израсходовала на посуду 7 руб. За 3 руб. она купила кастрюлю, а на осталь­ные деньги два одинаковых ведра. Одно ведро стоит х руб.”На следующем этапе по этому тексту со­ставляется уравнение. Для этого нужно составить два различных выражения для одного

 и того же значения одной величины или для равных значений различных величин.

В приведенной нами задаче это может быть достигнуто по крайней мере двумя путями, которые мы опишем в виде рассуждения решающего.

1. Пусть 1 ведро стоит х руб. Тогда 2 вед­ра будут стоить (х · 2) руб. Так как эти 2 вед­ра куплены на оставшиеся у хозяйки после покупки кастрюли деньги, то, следовательно, эти 2 ведра стоят (7 — 3) руб. Оба выражения (х · 2) и (7 — 3) обозначают одно и то же ко­личество денег, поэтому между ними можно поставить знак равенства Получим уравнение: х · 2 = 7 - 3, в котором х обозначает цену ведра.

2. На покупку кастрюли и двух ведер хо­зяйка израсходовала 7 руб, Пусть 1 ведро стоит х руб. Тогда 2 ведра будут стоить (х · 2) руб. Так как за кастрюлю хозяйка уплатила 3 руб., то вся покупка будет стоить (3+х · 2) руб. Число 7 и выражение (3 + х · 2) обозначают стоимость всей покупки; следова­тельно, между ними можно поставить знак ра­венства. Получим уравнение: 3+х·2=7, в котором х обозначает цену ведра.

На третьем этапе решающий отвлекается от содержания задачи и решает составленное по ней уравнение.

Следующим шагом является перевод найден­ного решения уравнения на язык текста зада­чи и формулировка ответа на вопрос задачи Этот перевод происходит в процессе таких рассуждений решающего: “Так как мы усло­вились, что 1 ведро стоит х руб., а из урав­нения нашли, что х=2, то, значит, ведро сто­ит 2 руб. Ответ на вопрос задачи будет таким: одно ведро стоит 2 руб.”

В целом решение приведенной задачи (№ 32, с 100) может быть записано в следующем виде:

“Пусть одно ведро стоит х руб,".  Тогда   (х·2)   руб. — стоимость двух ведер; (7 — 3)   руб.— стоимость двух  ведер.

х·2 = 7— 3

х ·2 = 4

х=2

2· 2 = 7—3

4=4

Ответ: одно ведро стоит 2 руб.

Пусть одно ведро стоит х руб. Тогда  (х·2)   руб.— стоимость двух ведер; (3+х·2) руб.— стоимость всей покупки; 7 руб.— стоимость всей покупки.

3+х·2=7

х·2=7—3

х·2=4

х=2

3+2·2 = 7

7 = 7

Ответ: одно ведро стоит 2 руб.”

При записи решения задачи с помощью уравнения обычно записывают только уравне­ние, его решение и ответ. А очень важная часть решения задачи — рассуждения, приво­дящие к составлению уравнения,— остается незафиксированной в тетрадях учащихся. На наш взгляд, это упущение приводит к формальному овладению алгебраическим способом решения задач. Мы считаем целесообразным (может быть, и не всегда, но достаточно час­то) записывать кратко рассуждения, приводя­щие к составлению уравнения, как это показа­но выше.

Ответ при решении задач с помощью урав­нений лучше записывать полным предложени­ем. Это помогает осознать учащимся решение уравнения как решение задачи.

После формулировки ответа полезно сделать прикидку полученного ответа в соответствии с условием задачи.

Каждая форма записи решения задачи и каждый новый способ ре­шения позволяют взглянуть на задачу по-иному, яснее осознать процесс решения, глубже понять связи и отношения между данными, между данными и искомым. А это помогает полнее реализовать как дидактические, так и воспитывающие и развивающие функции тек­стовых задач. Поэтому в соответствии с кон­кретными целями урока и в соответствии с целями использования текстовых задач на уроке математики следует умело применять как различные способы решения задач, так и различные формы записи решения задач в тетрадях учащихся.