Расчет случайных процессов в нелинейных системах. Расчет зависимости математического ожидания и дисперсии ошибки системы от величины коэффициента передачи

Статистической линеаризацией называется построение линейной модели нелинейного звена системы управления с учетом характеристик преобразования случайного сигнала линейной частью системы.

Методы статистической линеаризации основаны на допущении о наличии у линейной части системы свойства фильтра. Благодаря этому, сигнал на входе нелинейного звена, то есть на выходе линейной части, рассматривается в форме , причем для описания центрированной составляющей ограничиваются дисперсией D_x или среднеквадратическим отклонением .

Замена нелинейного звена линеаризованной моделью позволяет использовать принцип суперпозиции - провести раздельный анализ преобразования системой детерминированных и случайных составляющих входных сигналов. Особенность применения принципа суперпозиции на основе статистической линеаризации состоит в том, что для случайных составляющих нелинейное звено заменяется безынерционным звеном с коэффициентомk₁, а для детерминированных - безынерционным звеном с коэффициентом  k₀  (при нечетной нелинейности) или постоянным сигналом j₀.

Коэффициенты статистической линеаризации оказываются функциями моментов распределения сигналов на входе нелинейности, которые, в свою очередь, вычисляются через передаточные функции системы, включающей в себя линеаризованное звено, то есть зависят от коэффициентов статистической линеаризации. Вследствие этого расчет стационарного процесса в статистически линеаризованной системе сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, требующему применения численных методов.

Таким образом, если на вход нелинейного звена со статической характеристикой  y = F(x), действует сигнал, представляющий собой случайный процесс  в виде:

,                                                                                                               (1)

где  – математическое ожидание, которое является обычной (регулярной) функцией времени,

 – случайная центрированная составляющая.

Процесс на выходе нелинейного звена приближенно может быть представлен в виде:

,                                                                                           (2)

где , – коэффициенты статистической линеаризации.

В нашем случае (для идеальной релейной характеристики) значения этих коэффициентов следующие:

,                                                                                                      (3)

,                                                                                                          (4)

где  ,                                                                                    (5)

 .                                                                                                         (6)

В соответствии с формулой (4) получим:

.                                               (7)

Далее будем обозначать .

 ,                                                                        (8)

где  – интеграл вероятности для нормально распределенного входного сигнала.

Для расчёта детерминированной составляющей сигнала ошибки после линеаризации используется следующая структурная схема (рисунок 2).

Рисунок 2

Найдём значение математического ожидания по формуле (9):

,                                                                                   (9)

где  – передаточная функция замкнутой системы по ошибке,

Задающее воздействие:

.                                                                                                                  (10)

Изображение по Лапласу задающего воздействия (10) имеет вид:

,                                                                                                                     (11)

.                                                  (12)

Для расчета центрированной случайной составляющей используется  структурная схема (рисунок 3)

Рисунок 3

Дисперсия принимает значение в соответствии с формулой (13).

(13)

где

 –  спектральная плотность помехи .

.                                                                                                                     (14)

При замене  в (14) s = jω, получим:

,                                                                                                             (15)

.               (16)

Для нахождения данного интеграла в формуле (16) воспользуемся следующей формулой:

.                                                                                                                                                                                                                                 (17)

В нашем случае:

,                                                                                                                               (18)

.                                                  (19)

Коэффициенты полинома (18):

Коэффициенты полинома (19):

       

Вычислим определители:

                                                                                           (20)

                                                                                                    (21)

Найдем дисперсию, подставив результаты (20) и (21) в формулу