Расчет процессов в дискретных системах

Практическое занятие 9. Расчет процессов в дискретных системах

Пример 1. Рассчитать процесс в системе, описываемой разностным уравнением

4x[n+2]+4x[n+1]-3x[n]=g[n]

при g[n]=0 и начальных условиях x[0]=8, x[1]=-6.

Воспользуемся классическим методом.

Составим характеристическое уравнение: 4z²+4z-3=0 и найдем его корни:

,

z₁=0,5;  z₂=-1,5.

В результате общее решение имеет вид:

.

Найдем произвольные постоянные:

x[0]=C₁+C₂=8,

x[1]=0,5C₁-1,5C₂=-6;

C₂=8-C₁,

0,5C₁-12+1,5C₁=-6,

2C₁=6,

C₁=3, С₂=5.

В результате:

.

Рассчитаем процесс на нескольких тактах (x[0] и x[1] известны):

,

,

 и так далее.

Теперь на основе заданного уравнения составим рекуррентную формулу:

4x[n+2]=-4x[n+1]+3x[n],

x[n]=-x[n-1]+0,75x[n-2]

и рассчитаем процесс на нескольких тактах:

,

,

,

,

 и так далее.

Пример 2. Рассчитать процесс в системе, описываемой разностным уравнением

x[n+3]-3x[n+2]+3x[n+1]-x[n]=g[n]

при g[n]=0 и начальных условиях x[0]=1, x[1]=4, x[2]=9.

Воспользуемся классическим методом.

Составим характеристическое уравнение: z³-3z²+3z-1=0 и найдем его корни:

(z-1)³=0.

Уравнение имеет один вещественный корень z=1 кратности k=3.

В результате общее решение имеет вид:

.

Найдем произвольные постоянные:

x[0]=C₁=1,

x[1]=C₁+C₂+C₃=4,

x[2]=C₁+2C₂+4C₃=9;

1+C₂+C₃=4,

C₃=3-C₂,

1+2C₂+4C₃=9,

2C₂+12-4C₂=8,

4=2C₂,

C₂=2, С₃=1.

В результате:

.

Рассчитаем процесс на нескольких тактах (x[0], x[1] и x[2] известны):

,

,

,

 и так далее.

Пример 3. Найти реакцию системы, описываемой разностным уравнением

6x[n+2]-5x[n+1]+x[n]=g[n]

при g[n]=1 и нулевых начальных условиях x[0]=x[1]=0.

Составим рекуррентную формулу:

 

и рассчитаем процесс на нескольких тактах:

,

,

,

 и так далее.

Теперь воспользуемся классическим методом.

Составим характеристическое уравнение: 6z²-5z+1=0 и найдем его корни:

,

, .

В результате общее решение имеет вид:

.

Частное решение ищут в форме, соответствующей функции в правой части уравнения. При g[n]=const ищем x^*[n]=a:

6a-5a+a=1,

2a=1,

.

Таким образом, полное решение имеет вид:

.

Найдем произвольные постоянные:

,

;

,

,

,

.

В результате:

.

Рассчитаем процесс на нескольких тактах:

,

,

и так далее.

Решим задачу операторным методом.

Разностному уравнению соответствует дискретная передаточная функция дискретной системы:

.

Учтем изображение заданного входного сигнала  и получим изображение искомого сигнала x[n]:

.

Преобразуем эту дробь в сумму табличных изображений:

;

A+B=0,

;

B=-A,

,

A=1, B=-1;

.

Теперь учтем, что для решетчатой функции , или , где , z-изображение имеет вид :

.

Запишем искомую решетчатую функцию:

, что совпадает с полученным выше результатом.