Основные сведения о математическом аппарате, применяемом для импульсных и дискретных систем

Лекция 18. Основные сведения о математическом аппарате, применяемом для импульсных и дискретных систем

Математическая модель импульсного элемента обычно рассматривается в форме последовательного соединения ключа, замыкающегося и размыкающегося с периодом T₀, и непрерывной части (рисунок 93а). Принимается, что ключ замыкается на время, значительно меньшее по сравнению с T₀. Поэтому сигнал на выходе ключа может рассматриваться как решетчатая функция (рисунок 93б), значения которой совпадают со значениями входного сигнала x(t) в моменты времени t=nT₀, где n=0,1,2,... Непрерывная часть импульсного элемента (экстраполятор) обеспечивает формирование импульсов определенной формы и длительности.

Несмещенная решетчатая функция f[nT₀], в сокращенной записи f[n], - это функция, значения которой определены в дискретные моменты времени t=nT₀, где n - номер такта, T₀=const - период дискретности. Несмещенная решетчатая функция может быть получена из непрерывной функции, как видно из рисунка 93б, на основе соотношения: . Смещенная решетчатая функция определяется в смещенные относительно начала такта моменты времени: , где e - смещение,  0<e<1. Для решетчатых функций могут выполняться все операции, аналогичные операциям с непрерывными функциями: дифференцирование, интегрирование и др.

Роль первой производной непрерывной функции для решетчатой функции может выполнять первая прямая разность (рисунок 94)

или первая обратная разность

.

Прямая разность определяется для момента времени t=nT₀ с учетом будущего значения решетчатой функции при t=(n+1)T₀. Это можно сделать, когда будущее значение известно. Обратную разность можно определить всегда, так как она определяется с учетом прошлого значения решетчатой функции при t=(n-1)T₀ .

Роль второй производной для решетчатой функции выполняют вторая прямая разность

или вторая обратная разность

.

Высшие прямая и обратная разности определяются с помощью рекуррентных соотношений:

,                              (18.1)

.

При вычислении обратных разностей значения f[m] для m<0 следует брать равными нулю.

Роль определенного интеграла для решетчатой функции могут выполнять неполная сумма

или полная сумма

.

Для смещенных решетчатых функций все перечисленные соотношения аналогичны.

В качестве аналогов дифференциальных уравнений для решетчатых функций используются разностные уравнения (уравнения в конечных разностях). Для прямых разностей может быть составлено неоднородное линейное разностное уравнение

,                       (18.2)

где y[n] - искомая, f[n] - заданная решетчатые функции. На основе (18.1) уравнение (18.2) может быть преобразовано к виду:

.                   (18.3)

Для обратных разностей уравнения будут иметь вид:

,

.                       (18.4)

Наиболее удобны уравнения вида (18.3) и (18.4), так как они легко преобразуются в рекуррентные формулы для пошагового вычисления решетчатой функции y[n], удобные для реализации на компьютере:

,

.

При f[n]=0 получим однородные разностные уравнения. Их решение может быть получено аналогично решению однородных дифференциальных уравнений. Составляется характеристическое уравнение:

                                (18.5)

и определяются его корни  z_i , i=1,2,...,m.

Общее решение однородного разностного уравнения при вещественных некратных корнях характеристического уравнения имеет вид:

,                                (18.6)

где C_i – произвольные постоянные, определяемые через начальные условия.

Вещественному корню z_j кратности k будет соответствовать составляющая общего решения:

,                               (18.7)

Паре комплексно сопряженных корней - следующая составляющая:

,                               (18.8)

где r – модуль, j – аргумент комплексного корня z=a+ b; C, y – произвольные постоянные, определяемые через начальные условия.

Поскольку общее решение уравнения системы описывает ее свободное движение, или переходную составляющую процесса в системе, то из (18.6)-(18.8) следует, что для асимптотической устойчивости системы, описываемой разностным уравнением, необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения (18.5) удовлетворяли условию:

,  i=1,2,...,m.                                         (18.9)

Так же, как и для линейных непрерывных систем, при исследовании устойчивости импульсных систем желательно избежать трудоемкой процедуры вычисления корней характеристического уравнения. Это обеспечивается на основе специальных преобразований решетчатых функций, позволяющих и для импульсных систем применить аппарат передаточных функций, частотных характеристик и так далее.

Второй вариант математического описания импульсного звена (рисунок 93) предполагает, что на выходе ключа формируется последовательность d-функций, площадь каждой из которых совпадает со значением входного сигнала  звена x(t) в моменты времени t=nT₀:

x^*[n] =x(t)d(t-nT₀), n=0,1,2,...

Здесь и ниже ограничимся рассмотрением несмещенных решетчатых функций.

Дискретное преобразование Лапласа решетчатой функции f[n] определяется формулой:

.                       (18.10)