От маленьких проблем - к большим открытиям

В. Л. ДРОЗД, М. А. УРБАН.  От маленьких проблем - к большим открытиям // НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА, 2000. - №5- с.37-39.

Проблемной ситуацией в обучении не обяза­тельно должна быть задача, вызывающая у школьников серьезные затруднения. Более то­го, большие, сложные проблемы, выдвигаемые порой на уроках, вместо стимулирования ин­теллектуальной деятельности ребенка по поис­ку решения могут вызвать обратную реакцию: блокировать мыслительную активность. При­чина -- неверие ребенка в собственные силы, страх перед потенциальной неудачей, вызван­ные «глобальностью» поставленной проблемы.

Более продуктивными и гуманными в процес­се обучения младших школьников, с нашей точки зрения, являются небольшие проблемные задания. Получив опыт работы над такими заданиями, ис­пытав своеобразное интеллектуальное «удоволь­ствие» при нахождении искомого, учащиеся есте­ственным образом будут пытаться применить ос­военные процедуры в средней и старшей школе.

Одним из возможных путей создания про­блемных ситуаций «малого масштаба» может быть организация на уроках математики ис­следований, в которых реализуются не только знания, но и методы их получения.

В качестве примера покажем, как неболь­шое по объему и сложности исследование про­блемной ситуации может помочь учащимся глубже осознать некоторые математические за­кономерности.

В теме «Письменное деление на двузнач­ное число» дети учатся делить на круглые чис­ла с остатком. В нашем опыте при изучении этого материала на уроках несколько раз воз­никала проблемная ситуация: учащиеся начи­нали сомневаться в истинности правила деле­ния числа на произведение.

Следуя учебнику (Математика-4 / Под ред. А. А. Столяра. - Народная асвета, 1995), уча­щиеся выполняют деление 168 : 40 устно сле­дующим образом: 168 : 40 = 168 : (40 • 10) =  168 : 10 : 4 = 4 (ост. 8). При этом, выполняя последовательно деление 168 : 10 : 4, не обращают внимание на промежуточные остатки при делении, а итоговый остаток (8) определяют, умножив результат (4) на делитель (40) и вычтя полученное значение (160) из делимого (168).

Аналогично рассматривается данный при­ем на примере деления 638 на 90 в учебнике М. И. Моро и др. для III класса трехлетней и IV класса четырехлетней начальной школы.

На анализируемом уроке учитель предпо­чел записать последовательно каждый этап процесса деления. Решение примера 168 : 40 оформил следующим образом:

168 : 10= 16 (ост. 8)                  16 : 4 = 4

Учащиеся, уже знакомые с правилом деле­ния числа на произведение, поинтересовались, можно ли делить в другом порядке - сначала на 4, а потом на 10. Предположение тут же бы­ло проверено и получен непредвиденный ре­зультат:

168 : 4 = 42                                42 : 10 = 4 (ост. 2)

При разборе следующего примера 376 : 30 проблемная ситуация не разрешилась. Находя ответ по схеме, предложенной в учебнике, т.е. выполнив деление, не акцентируя внимания на промежуточных остатках, учащиеся получили ответ 12, а затем умножили его на делитель 30 и получили 360. Это означает, что 376 - 360 = 16 единиц остались не разделенными. Таким обра­зом, был найден ответ - 12 (ост. 16).

После этого дети вместе с учителем офор­мили запись решения по-другому:

376 : 30 = 376 : (3 • 10)

1-й  способ 376 : 10 = 37 (ост. 6) 37 : 3 = 12 (ост. 1)

2-й  способ 376 : 3 = 125 (ост. 1) 125 : 10 = 12 (ост. 5)

Получив результаты, все с удивлением об­наружили, что ни один из них не соответству­ет первоначально найденному значению 12 (ост. 16). Создалась ситуация, «провоцирую­щая» ученика усомниться в истинности изу­ченного теоретического правила.

Средствами математического аппарата эта проблемная ситуация разрешается следующим образом. Из того, что каждое целое неотрицательное число  можно  представить  в  виде

а = bq + r ( r < b) следует согласно способу 1, что:

376 = 37 • 10 + 6                             37= 12 • 3+ 1

376 = (12 • 3+1) • 10 + 6= 12 • (3 • 10) + 1 • 10 + 6 =  360+16

                                                                          r    

В то же время согласно способу 2:

376= 125•3+1                                  125= 12•10 + 5

376 = (12•10 + 5)•3 + 1 = 12•(10•3) + 5 • 3 + 1 = 360+16     

                                                                      r    

Таким образом, остаток 16 в одном и дру­гом случае представлен различными числовы­ми выражениями (1 • 10 + 6 и 5 • 3 + 1). Усмот­рев математическую суть данной проблемы (остатки, полученные на первом и втором эта­пах деления, имеют различное значение), учи­телю легче подобрать адекватные средства ис­следования проблемной ситуации младшими школьниками.

Одним из таких средств может выступить наглядность, отражающая существенные сторо­ны процесса деления - модель (чертеж, иллюст­рация и т.п.). Вначале учащимся предлагается показать на отрезке деление по содержанию на 10. Предлагается разбить большой отрезок на отрезки длиной по 10 клеток. В результате полу­чится 37 отрезков длиной по 10 клеток каждый и 6 клеток, которые не образуют группу в 10 кле­ток, - это остаток первого шага деления (рис. I).

376: 10 = 37 (ост. 6)

  Рис. 1

После этого предлагается самостоятельно показать на чертеже второй шаг деления. Вы­полняя это задание, многие учащиеся замеча­ют, что делимое 37 на втором этапе деления обозначает не 37 единиц, а 37 десятков. Сгруп­пировав эти десятки по 3, замечают, что обра­зовалось 12 групп по 3 десятка в каждой. При этом последний десяток не вошел ни в одну группу, т.е. остался не разделенным. Дети за­мечают, что остаток 1 на втором этапе деления имеет совершенно иное значение - он обозна­чает 1 неразделенный десяток. В итоге имеем остаток, состоящий из одного десятка и шести единиц, т.е. 16 (рис. 2).

37 : 3 = 12 (ост. I)

   10                                                   10  6

Выполняя деление в другом порядке, уча­щиеся вначале иллюстрируют на чертеже де­ление по содержанию 376 на 3. В результате получается 125 «троек» и 1 единица остается не разделенной (рис. 3).

376 : 3 = 125 (ост. 1)

  3                                                           1

                   125 отрезков

                      Рис.3.

Выполняя второй шаг деления, учащиеся замечают, что делимое 125 обозначает 125 «троек». В результате деления на 10 получает­ся 12 групп по 10 «троек» в каждой группе. При этом последние пять «троек» не образуют группу в 10 «троек», т.е. остаются не разделен­ными. Таким образом, остаток 5 на втором эта­пе деления обозначает количество неразделен­ных «троек», а не единиц. В итоге имеем оста­ток, состоящий из пяти «троек» и одной еди­ницы, т.е. 16 (рис. 4).

125 : 10= 12 (ост. 5)

                                                     333331

     12 групп по 10 отрезков

     Рис. 4

Теперь легко объяснить результаты, полу­ченные в первом примере. При делении 168 на 4 получаем 42 «четверки», которые при деле­нии на 10 дают частное 4 и в остатке 2 «чет­верки», т.е. 8 единиц.

Таким образом, для проведения исследова­ния, направленного на разрешение данной про­блемной ситуации, оказались необходимыми как математическая подготовка учителя (для уясне­ния математической сути проблемы), так и его методическая квалификация (для организации поиска решения проблемы младшими школьни­ками средствами учебного моделирования).