Уравнивание нивелирных сетей (Глава 2 дипломного проекта), страница 2

                                                                                    (34)

Это выражение представляет собой матричную запись системы t линейных уравнений, именуемых нормальными, из решения которых может быть получен вектор Xt1, то есть вектор поправок к приближенным значениям параметров. 3десь Ntt - матрица коэффициентов нормальных уравнений.

Вt1 - вектор свободных членов нормальных уравнений.

Дальнейший ход уравнительных вычислений можно представить так. С помощью матричного равенства (28)  получаем вектор Vn1 поправок к измеренным величинам, и затем вектор Yn1 уравненных значений измеренных величин 

Здесь

Уравненные значения параметров могут быть вычислены с помощью равенств (22). При ручном счете, чаще всего целесообразнее пользоваться уравнениями и2 формулами, записанными в обычной алгебраической форме. Такую запись будем именовать развернутой или поэлементной записью, поскольку операции с матрицами развертываются здесь в обычные алгебраические операции с элементами матриц.

Представим нормальные уравнения (34) в поэлементной записи. Для этого развернем выражение (30)

Производя до конца перемножение матриц и используя при этом обозначения Гаусса

                                                       (35)

и так далее получаем в развернутом виде матрицу коэффициентов нормальных уравнений

                                                               (36)

Аналогичным образом получаем для вектора свободных членов (31)

                             (37)

Используя выражения (36), (37) и (27), записываем нормальные уравнения (34) в таком виде

                                             (38)

Отсюда переходим в поэлементной записи нормальных уравнений (34), для случая уравнивания неравноточных измерений

                                             (39)

Коэффициенты [paa], [pbb], ..., [ptt], расположенные по главной диагонали, именуются квадратичными. Они всегда положительны. Остальные коэффициенты [раb], [рас], ..., [pat] и др. именуются неквадратичными.

Рассмотрим способ Гаусса на примере решения в общем виде системы нормальных уравнений с тремя неизвестными

                                                           (40)

Исключим из уравнений (40) неизвестное . Для этого умножим первое уравнение первоначально на величину -[ab]/[aa]   и сложим со вторым уравнением, затем на величину - [ac]/[aa] и сложим с третьим уравнением. В результате получаем

                         (41)

Введем обозначения

                                            (42)    

С учетом этих обозначений, система (41) примет вид

                                                               (43)

Исключим из (43) неизвестное .  Для этого первое уравнение из (43) умножим на величину  сложим со вторым уравнением. В результате получим

                                    (44)

Введем обозначения

                         (45)

Теперь уравнение (44) примет вид

                                                                              (46)

Из этого уравнения находим .  Подставляя  в первое уравнение из (43), находим . Наконец, подставляя значения  и   в первое уравнение из (40) , находим .

Соберем а одну группу уравнения, из которых непосредственно находят значения неизвестных

                                                          (47)

Эту группу именуют эквивалентной системой уравнений. Систему (47) часто именуют также системой преобразованных уравнений.

Пользуясь системой (47), представим в явном виде каждое неизвестное

                                                        (48)

Эту группу равенств принято называть системой элиминационных yравнений.

Символы  и т.д. именует символами Гаусса. Они развертываются по определенному правилу, которое предопределяет и порядок выполнения операций для получения численного значения символа.

Правило развертывания символов Гаусса состоит в следующем. Символ развертывается в разность. Уменьшаемым разности является развертываемый символ, но со значком, уменьшенным    на  единицу (значок ноль не пишется). Вычитаемым членом является  дробное выражение. Его знаменателем является квадратичный коэффициент,  буквы которого в алфавитном порядке соответствуют значку развертываемого символа. Числителем дробного выражения является произведение двух символов, каждый из которых получается из уменьшаемого путем последовательной замены одной из его букв буквой знаменателя.