Методические указания по написанию контрольных работ по дисциплине "Математика". Часть II (Контрольные работы № 4-6: Элементы математического анализа. Неопределенный интеграл)

Страницы работы

Фрагмент текста работы

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ

Утверждены

Ученым советом

экономического факультета

5 марта 2001 г., пр. № 5

Методические указания

по написанию контрольных работ по дисциплине

математика

Часть II

(контрольные работы № 4, 5, 6)

для студентов заочной формы обучения

(специальность — 060800 Экономика и управление на предприятии СКС)

Санкт-Петербург

2003


Кафедра математики и естествознания

Составители:

доцент, кандидат технических наук Т. И. Башаратьян;

профессор, доктор технических наук С. А. Кабанов

Рецензент

доцент кафедры высшей математики Санкт-Петербургского университета авиаприборостроения, кандидат физико-математических наук И. А. Губкин

@ СПбГУП, 2003


 


Введение

Данная методическая разработка предназначена для студентов экономического факультета заочной формы обучения, выполняющих контрольные работы по дисциплине «Математика».

Самостоятельная работа — основная форма обучения студента-заочника. Важно правильно ее организовать. К организации обучения прежде всего относится умение работать с книгой. Для того чтобы ориентироваться в содержании, последовательности и объеме изучаемого материала, рекомендуется руководствоваться программой курса. Обязательно следует вести конспективную запись основных положений теории: определений, теорем, формул. Необходимо самостоятельно воспроизводить все этапы доказательств и математических выкладок. Только усвоив теоретическую часть и решив определенный объем задач по данной теме, можно приступать к выполнению контрольной работы.

Номера тем контрольных работ соответствуют их номерам в учебной программе. В каждой теме даются лишь фрагментарные пояснения основных положений, так как предполагается, что основной материал усвоен.

При оформлении контрольной работы следует указать тему, привести полностью условие задачи и далее подробно изложить ход решения, комментируя каждый этап и приводя подробные обоснования выбранных приемов. Работы, в которых эти требования не соблюдены, к рецензированию не допускаются. Решение по возможности следует доводить до ответа в общем виде и лишь затем выполнять вычисления. При оформлении контрольной работы рекомендуется сохранять последовательность задач полученного задания, писать решения подробно, аккуратно и разборчиво.

Контрольная работа № 4

Элементы математического анализа

Тема 6. Введение в математический анализ

Понятие функции

I. Определение. Пусть Х — множество числовых значений, принимаемых переменной х, У — принимаемых переменной у. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Обозначают: y = f(x), y = y(x).

Множество Х называется областью определения функции; У — множеством значений функции. Эти множества часто обозначаются D(y), E(y).

Рис. 1.

Заметим, что из определения функции следует, что, например, у = х2 задает функцию, уравнение же х = у2 соответствует, как видно из рис. 1, двум функциям:  и (появление двух функций связано с тем, что значение x1входит в две пары: x1; y1 и x1; y2).

II. Основные элементарные функции. (Их графики и свойства рекомендуем изучить самостоятельно.)

1. Целая рациональная функция (многочлен степени n или полином)

Частные случаи:

y = ax + b — линейная функция.

y = ax2 + bx + c — квадратичная функция.

2. Степенная функция

y = xn; n Î R.

3. Показательная функция

y = ax; a > 0; a ¹ 1.

4. Логарифмическая функция

y = logax; a > 0; a ¹ 1.

5. Тригонометрические функции.

6. Обратные тригонометрические функции.

III. Сложная функция. Пусть заданы две функции одной переменной y = f(y) и Y = g(x). Пусть множество G значений функции g(x) является подмножеством Y — области определения функции f. Функция y = f[g(x)] называется сложной функцией переменной х.

Сложную функцию называют также наложением или суперпозицией функций. Например,  — рассматривается как следующее наложение элементарных функций

y = t2 ; t = ln |z| ; z = cos l ; l = x1/2.

Заметим, что наложение элементарных функций есть также элементарная функция.

Рекомендация. Очевидно, что большинство рассматриваемых в данном курсе функций порождаются наложением простейших элементарных функций, следовательно, необходимо досконально изучить свойства функций, перечисленных в п. II. При этом надо обратить внимание на такие характеристики функций, как их множества D(y) и E(y); точки пересечения с осями координат, четность или нечетность, периодичность, возрастание (убывание) на промежутках монотонности.

Элементы теории пределов

I. Предел числовой последовательности. Понятие предела одно из основных в математическом анализе. Это понятие лежит в основе дифференциального и интегрального исчислений — наиболее универсальных методов современной математики. Будем рассматривать предел числовой последовательности и предел функции.

Определение последовательности: пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие какое-либо число xn

х1, х2, …, xn,                                     (1)

n Î N.

Последовательность (1) задает числовую последовательность. Такую последовательность называют также номерованной последовательностью.

Например: 1, 2, 4, 9 …

Очевидно, что любой член этой последовательности определяется по формуле xn = n2, xn — общий член последовательности.

Последовательность задана, если на множестве натуральных чисел указана формула общего члена xn, позволяющая по номеру n вычислять соответствующее значение xn.

Пусть xn = 3 — 10-n, тогда числовая последовательность имеет вид

3, 3 – 0,1, 3 – 0,01, 3 – 0,001…

Очевидно, что с увеличением n значение xn все больше приближается к 3. В этом случае говорят о пределе последовательности.

Определение предела последовательности. Число а называется пределом последовательности, если для любого положительного числа d найдется такой номер, равный n, начиная с которого будет выполняться условие

                                        (2)

Считают: xn стремится к а, последовательность сходится к а.

Пишут: xn ® a; lim xn = a. Знак lim обозначает «предел» (от лат. limes — граница).


Геометрически предел последовательности (или условие (2)) означает, что начиная с некоторого номера n, все значения этой последовательности будут изображаться точками, лежащими в d — окрестности точки а, то есть в интервале (а – d, а + d ).

Пример 1. Пусть .

Доказать, что .

Найти значение n, начиная с которого каждый член последовательности будет отличаться от своего предела меньше, чем на 0,01.

Решение: Докажем, что .

По условию ; d = 0,01. В соответствии с (2) запишем и решим неравенство

 Û .

Учитывая, что n Î N (следовательно, ) справедлива запись

. (1п)

Левая часть есть бесконечно малая величина, а правая часть

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Математика
Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
4 Mb
Скачали:
0