четные функции, то
достаточно рассмотреть случай 0<x</2. Из рис. 15 и определения функций
cos x и sin x, сравнивая площади сектора 
OCD, треугольника OAB и
сектора OAB, найдем
Разделив эти неравенства на (1/2) x, получим требуемый результат.
Из выше полученного результата следует, что |sin x||x| x R.
Из 2) по теореме о предельном переходе в неравенствах вытекает, что lim x 0sin x = 0.
Теперь покажем, что limx 0(sin x)/x = 1.
Cчитая, что |x|</2, в силу полученного в 1) неравенства имеем 1-sin2x<sin x/x<1.
Но limx 0(1-sin 2x) = 1, значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, что limx 0(sin x)/x = 1.
ВТОРОЙ. e = limx (1+1/x)x
Если в данной формуле положить y = 1/x, то получим вторую запись данной формулы.
limx 0(1+x)1/x = e.
7.Арифметические свойства непрерывных функций
8.Теорема об обращении в ноль
Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0, то найдется по крайней мере одна точка С принадлежащая (a,b), в которой функция обращается в 0.
9.Теорема о промежуточных значениях
Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.
10.Формула Лагранжа
Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b),
то найдется такая точка с⋲(a;b),что
Воспользуемся геометрическим смыслом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедливости того, что существует касательная к графику f в точке с абсциссой с из интервала (а; b), параллельная секущей, проходящей через точки A (a; f (а)), В (b; f (b)). Рассмотрим прямую l, параллельную АВ и не имеющую общих точек с частью графика, соответствующей промежутку [а; b]. Будем перемещать эту прямую l по направлению к графику f так, чтобы она оставалась параллельной АВ. Зафиксируем положение l0 этой прямой в момент, когда у нее появятся общие точки с этой частью графика.
Из рис.1 видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка касания прямой
l0 с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда
f’(c)=tg α, где α — угол между прямой l0 и осью абсцисс. Но l||АВ,
поэтому угол α равен углу наклона секущей АВ, т. е. 
Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; b) найдется такая точка
c∈ (а; b) (рис. 2), что
11.Правило Лопиталя
(Правило Лопиталя) Пусть функции f(x) и
g(x)
непрерывны в некоторой окрестности Е точки х0 и f(x0)=g(x0)=0
, то есть f(x)->0 и g(x)->0при x->x0. Предположим, что при x
принадлежит Е, x≠x0 функции f(x) и g(x) имеют производные f’(x )и g’(x), причём существует предел отношения этих производных: 
Тогда предел
отношения самих функций f(x) и g(x) тоже существует и равен тому же числу L: 
Доказательство. Заметим, что из
условия
следует, что оба
одностороннихпредела также равны L: 
и 
Пусть x1 принадлежит Е, x1>x0. По теореме Коши, применённой к отрезку [x0;x1] , получим тогда, с учётом того, что f(x0)=0 и g(x0)=0, 
где 
. Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при x1->x0+: 
так как, очевидно, при x1->x0+имеем также x*->x0+. Теперь возьмём точку 
, 
и применим теорему
Коши к отрезку ![$ [x_2;x_0]$](https://files3.vunivere.ru/workbase/00/05/13/05/images/image040.gif){kind=small}
. Получим 
где 
. Переходя к пределу при x2->x0-, получаем
так
как при x2->x0-имеем x**->x0-.
Итак, оба односторонних предела отношения f(x)/g(x)равны L.
На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем,
что 
При доказательстве мы одновременно вывели правило Лопиталя и для односторонних пределов (то есть пределов при базах x->x0- и x->x0+): если f(x) и g(x) бесконечно малы при x->x0-и существует предел
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
