Комплексные числа. Вещественные числа. Точная верхняя и точная нижняя грань. Свойства бесконечно малых последовательностей. Предельные точки последовательности

Страницы работы

Фрагмент текста работы

1.Комплексные числа (геометрическое представление, алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи). Действия с комплексными числами

Положительные и отрицательные, в том числе иррациональные стали называть

действительными или вещественными. Сумма действительного и мнимого чисел называется комплексным числом   мнимая единица ‘i’ – мнимая единица                 

i2=  -1 y*i-чисто мнимое.

I)  алгебраическое определение К.Ч.

Z=x+iy . где x -действительная часть(Rez) y-мнимая часть(Imz)

II)  геометрическое определение К.Ч.

R=|oa|=|x12+y12|

Arg=ψ+2Πk;Z=R(cosψ +isinψ) ψ=arctgy/x

eiy=cosy+isiny. ex+iy=ex*eiy=ex* (cosy+isiny)=re

 


z1*z2=r1r2ei(ψ1+ ψ2)    z1/z2=r1/r2ei(ψ1- ψ2)

2) ФормулыМуавра.

(Z)n=rneinф =rn(cosnф+isinф);

2.Вещественные числа. Точная верхняя и точная нижняя грань. Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности. Свойства   произвольных   сходящихся   последовательностей.   Сходящиеся   в   несобственном   смысле последовательности

1)сверху

2)снизу

А =верхняя грань множества

НеограниченнаIf {х} ограничено справа и снизу то верхняя грань-Точная верхняя грань-sup{x};

M=sup if 1)M-верхняя грань;

2)

Точная нижняя грань-inf {x}; m=inf if 1)m-нижняя грань; 2)

Число, ’а’ называется пределом последовательности Xn-if

Сходящаяся последовательность имеет предел тогда и только тогда когда xn = a + an.,

Теорема 3.7. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Пусть а и b— пределы сходящейся последовательности {хп}. Тогда, используя специальное представление (3.5) для элементов хп сходящейся последовательности {хп}, получим хп = а + ап, хп = b+ bп, где ап и bп — элементы бесконечно малых последовательностей {aп} и {bп}

Вычитая написанные соотношения, найдем ап — |3п = b— а. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {ап -bп} имеют одно и то же постоянное значение b - а, то по теореме  b— а = 0, т. е. b = а. Теорема доказана.

Теорема 3.8. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть {хп} — сходящаяся последовательность и а — ее предел.

xп = а+ап, где ап— элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {ап} ограничена то найдется такое число А, что для всех номеров п справедливо неравенство | ап | <= А. Поэтому \хп | <= | а | + А для всех номеров п, что и означает ограниченность последовательности {хп). Теорема доказана.

Замечание. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, —1, 1, —1,... ограничена, но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {хп — а} и {хп+1 — а} являлась бы бесконечно малой. Но тогда, в силу теоремы 3.2, последовательность {(xп — а) -(хп+1a)} = {хп — хп+1} была бы бесконечно малой, что невозможно, так как | хп — хп+1 | = 2 для любого номера п.

Теорема 3.9. Сумма сходящихся последовательностей {хп} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хп} и {уп}. Доказательство. Пусть а и b— соответственно пределы последовательностей п} и п}. Тогда хп = а + а,пyn = b+pn   {ап }    (bп)   - бесконечно малые последовательности, п + yп ) — (а + b) = ап + bп.

Таким образом, последовательность {(хп + уп) — (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последовательность п + уп} сходится, и имеет своим пределом число, а + b.  

Теорема 3.10. Разность сходящихся последовательностейп} и {уп} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хп} и {уп}

Теорема 3.11. Произведение сходящихся последовательностей {xп} и {уп} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хп} и {уп}.

Доказательство. Если а и b— пределы последовательностей п} и п} соответственно, то хп = а + aп, уп = b+bп и {xп} *п}=а-b + а*bп + bя + aп*bп. Следовательно,

{xп} *п} — a-b = а*bп + bя + aп*bп.следовательно бесконечно малая, и поэтому последовательность п*уп} сходится и имеет своим пределом число а*b

Лемма 1. Если последовательность {уп} сходится и имеет отличный от нуля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность {1/уп }, которая является ограниченной.

Доказательство. Пусть е = | b|/2. Так как b<>0, то е > 0. Пусть N —номер, соответствующий этому е, начиная с которого выполняется неравенство п — b \ < е или п — b| < < | b|/2. Из этого неравенства следует, что при п>= N выполняется неравенство   | уп | > | b|/2. Поэтому при п>=N имеем

|1п|  следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность {1/уп }, и эта последовательность ограничена.

Теорема 3.12. Частное двух сходящихся последовательностей {Хп} и {уп} при условии, что предел {уп} отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой, равен частному пределов последовательностей {хп} и {уп}.

Доказательство. Из доказанной леммы 1 следует, что, начиная с некоторого номера

Похожие материалы

Информация о работе