Построение поля высшей волны TE22 в волноводе

Построение поля высшей волны TE₂₂ в волноводе:

Для построения поля требуется сначала вывести соответствующие уравнения составляющих электрического и магнитного поля волны TE₂₂. Полный вывод этих уравнений «с нуля» - крайне длительный и трудоёмкий процесс, требующий хорошего понимания математического аппарата. Этим аппаратом владеет далеко не каждый.

За основу возьмем некоторые промежуточные уравнения, вывод которых дан в учебнике, а именно:

1.  Комплексная амплитуда продольной составляющей магнитного поля имеет вид:

2.  Проекции поперечной составляющей магнитного поля имеют вид:

3.  Поперечные составляющие электрического поля имеют вид:

где a и b-длины широкой и узкой стенок прямоугольного волновода соответственно; m и n-индексы высшей волны; ρ_Н-волновое сопротивление волновода на волне Н-типа; k-собственное волновое число; γ-постоянная распространения волны; β-волновое число; А-некий коэффициент, будет найден далее; z-орт оси z.  

Для высшей волны TE₂₂ m и n равны соответственно 2 и 2, тогда собственное волновое число k будет равно:

Рассматривая передачу энергии по орту +z₀(в положительном направлении оси z), получим:

Критическая длина волны и собственное волновое число связаны отношением

          Далее последовательно преобразуем уравнение x-составляющей магнитного поля:

Проделав подобный вывод с уравнениями остальных составляющих получим:

Теперь введем комплексный коэффициент Ė_M:

Далее, следуя указаниям в учебнике, представим комплексный коэффициент Ė_M как

Ė_M = E_Me^jφm , где E_M – модуль, φ_m – аргумент и положим, что φ_m=0.

Теперь, используя ранее полученные комплексные амплитуды, формируем соответствующие комплексные представления, вводя множитель e^jωt, а затем, извлекая реальную часть, записываем уравнения для мгновенных значений проекций векторов Е и Н в прямоугольном волноводе для волны Н₂₁:

Для полноты представления распространения поля в прямоугольном волноводе осталось получить уравнения составляющих тока смещения:

(J_см)_m(x,y,z)=jωε₀ε_rĖ_M(x,y,z)=jωε₀ε_r[x₀ė_xm(x,y,z)+ y₀ė_ym(x,y,z)+ z₀ė_zm(x,y,z)].

Учитывая то, что z-составляющая электрического поля волны ТЕ отсутствует, получаем x и y-составляющие тока смещения. Подставив уравнения составляющих электрического поля и положив φ_m=0, получим:

Таким образом ток смещения изменяется по тому же закону, что и электрическое поле, но опережая его на четверть периода (четверть длины волны).

Для упрощения построения поля, изменяющегося как в координатах так и во времени, возьмем начальный момент времени t=0. Тогда распределение полей волны Н₂₁ в прямоугольном волноводе будут иметь следующий вид:

Рис.6. x и z-составляющие магнитного поля вблизи нижней стенки волновода (y=0). При y=b (вблизи верхней стенки) направления векторов меняются на противоположные.

 

Рис.7. y и z-составляющие магнитного поля при x=0 (вблизи правой стенки). При x=a/2 (середина волновода) направления векторов меняются на противоположные. При  x=a (вблизи левой стенки) направления векторов те же, что на рисунке.

Рис.8. Поперечные составляющие электрического поля в сечении ωt-βz=0. Направления векторов меняются на противоположные через каждую полуволну.

Как уже отмечалось ранее, ток смещения опережает электрическое поле на четверть длины волны. Т.е. в сечении ωt-βz=0 составляющие тока смещения будут равны 0. Рисунок 8 будет справедлив для тока смещения, начиная с ωt-βz=π/2 и так же, через каждую полуволну будут меняться направления векторов.

При изменении времени (его нарастании), распределение поля рисунков 6-8 будет распространяться в положительном направлении оси z с соответствующей фазовой скоростью. При этом картина поля будет повторяться вдоль оси z через каждую длину волны λ_В волновода.